Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 80 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 55 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anoso dia será ensolarado?
(A) 66.2 \%
(B) 67.2 \%
(C) 68.2 \%
(D) 69.2 \%
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado descreve uma cadeia de Markov com dois estados — ensolarado (S) e chuvoso ® — em que
  • \Pr(\text{S}\to\text{S})=0,8,
  • \Pr(\text{S}\to\text{R})=0,2,
  • \Pr(\text{R}\to\text{S})=0,45,
  • \Pr(\text{R}\to\text{R})=0,55.
    Queremos a probabilidade de estar ensolarado daqui a muitos dias ( 20 anos \approx 7300 dias), isto é, o regime estacionário da cadeia.

Passo 2

Escrevemos a matriz de transição
P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.2\\\\ 0.45 & 0.55 \end{pmatrix},
onde as linhas correspondem ao estado atual (S, R) e as colunas ao estado seguinte (S, R).

Passo 3

Na situação estacionária, o vetor distribuição \pi=(\pi_S,\pi_R) satisfaz
\pi = \pi\,P,
ou seja
\pi_S = 0.8\,\pi_S + 0.45\,\pi_R, \quad \pi_R = 0.2\,\pi_S + 0.55\,\pi_R, \quad \pi_S+\pi_R=1.

Passo 4

Da primeira equação e \pi_R=1-\pi_S segue
\pi_S = 0.8\,\pi_S + 0.45\,(1-\pi_S) \;\Longrightarrow\; \pi_S = 0.8\pi_S + 0.45 - 0.45\pi_S \;\Longrightarrow\; 0,65\,\pi_S = 0.45 \;\Longrightarrow\; \pi_S = \frac{0.45}{0.65}\approx0.6923.

Passo 5

Portanto, a probabilidade de estar ensolarado no dia 1º de janeiro daqui a 20 anos é aproximadamente 69{,}2\%, correspondendo à alternativa (D).

Resposta

(D)

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