Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se U não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.
II - Se R: \mathbb{R}^{48} \rightarrow \mathbb{R}^{48} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 16 e 27 respectivamente, então R é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado trata de diagonalizabilidade de operadores (ou matrizes) reais, envolvendo o polinômio característico e as multiplicidades geométrica e algébrica dos autovalores. Para uma matriz T de dimensão n ser diagonalizável sobre \mathbb{R}, é preciso que para cada autovalor \lambda a sua multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) seja igual à sua multiplicidade algébrica, e que a soma dessas multiplicidades geométricas seja n.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se U não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.”
Contra-exemplo clássico: a matriz de Jordan
J = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
é não diagonalizável (pois a multiplicidade geométrica do autovalor \lambda=1 é 1, menor que sua multiplicidade algébrica 2), mas seu polinômio característico é (x-1)^2, que tem raiz real dupla. Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se R:\mathbb{R}^{48}\to\mathbb{R}^{48} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 16 e 27 respectivamente, então R é diagonalizável.”
Sejam os autovalores \lambda_1,\lambda_2 com multiplicidades geométricas g_1=16 e g_2=27. Para diagonalizar, a soma g_1+g_2 deve ser igual a 48 (a dimensão total) e também igual às respectivas multiplicidades algébricas a_1,a_2. Mas
g_1 + g_2 = 16 + 27 = 43 < 48,
logo faltam 5 vetores próprios para formar base de \mathbb{R}^{48}. Mesmo impondo a_1+a_2=48, basta tomar a_1=21, a_2=27 para que g_1< a_1, impedindo a diagonalização. Portanto II é falsa.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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