Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 45 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 20 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 56.3 \%
(B) 57.3 \%
(C) 58.3 \%
(D) 59.3 \%
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado descreve um processo de cadeias de Markov com dois estados: dia de sol (S) e dia de chuva ®. Sabemos que
P(S\to S)=0,45,\quad P(S\to R)=0,55,
P(R\to R)=0,20,\quad P(R\to S)=0,80.
Como estamos olhando 20 anos à frente (muitos passos), a distribuição converge à distribuição estacionária. Vamos encontrá-la.
Passo 2
Montamos a matriz de transição P em que a primeira linha é a probabilidade de partir de S e a segunda de partir de R:
P = \begin{pmatrix} 0,45 & 0,55\\\\ 0,80 & 0,20 \end{pmatrix}.
A distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_R) satisfaz \pi=\pi P e \pi_S+\pi_R=1.
Passo 3
Escrevemos o sistema de equações da estacionariedade: