Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 45 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 20 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 56.3 \%
(B) 57.3 \%
(C) 58.3 \%
(D) 59.3 \%
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado descreve um processo de cadeias de Markov com dois estados: dia de sol (S) e dia de chuva ®. Sabemos que
P(S\to S)=0,45,\quad P(S\to R)=0,55,
P(R\to R)=0,20,\quad P(R\to S)=0,80.
Como estamos olhando 20 anos à frente (muitos passos), a distribuição converge à distribuição estacionária. Vamos encontrá-la.

Passo 2

Montamos a matriz de transição P em que a primeira linha é a probabilidade de partir de S e a segunda de partir de R:
P = \begin{pmatrix} 0,45 & 0,55\\\\ 0,80 & 0,20 \end{pmatrix}.
A distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_R) satisfaz \pi=\pi P e \pi_S+\pi_R=1.

Passo 3

Escrevemos o sistema de equações da estacionariedade:
\pi_S = \pi_S\cdot0,45 + \pi_R\cdot0,80,
\pi_S + \pi_R = 1.
Substituímos \pi_R=1-\pi_S na primeira equação.

Passo 4

Temos
\pi_S = 0,45\,\pi_S + 0,80\,(1-\pi_S) =0,45\,\pi_S +0,80 -0,80\,\pi_S =0,80 -0,35\,\pi_S.
Reagrupando,
\pi_S + 0,35\,\pi_S = 0,80 \quad\Longrightarrow\quad 1,35\,\pi_S = 0,80 \quad\Longrightarrow\quad \pi_S = \frac{0,80}{1,35}\approx0,5926.

Passo 5

Portanto, a probabilidade de ser ensolarado num dia muito no futuro é cerca de 59{,}26\%, ou seja, aproximadamente 59{,}3\%.

Resposta

(D) 59{,}3\%

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