Q10: Qual das equações abaixo tem como conjunto-solução:
\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ -4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 7 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\}
(A) 3 x_{3}+x_{4}=5
(B) 3 x_{1}+x_{2}=4
(C) 3 x_{3}+x_{4}=4
(D) 3 x_{3}+x_{4}=6
(E) 3 x_{1}+x_{2}=3
(F) 3 x_{1}+x_{2}=2

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço afim de \mathbb{R}^4 de dimensão 3,
\bigl\{x = p + \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 \mid (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3\bigr\}
com
p = \begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 3\\\ -4\end{pmatrix},\quad v_1 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como a dimensão da parte linear é 3, este afim é um hiperplano, i.e.\ o conjunto de solução de uma única equação linear
a\,x_1 + b\,x_2 + c\,x_3 + d\,x_4 = e.

Passo 2

Para que todo vetor p+\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 satisfaça
a\,x_1 + b\,x_2 + c\,x_3 + d\,x_4 = e,
é necessário que os vetores de direção aniquilem o lado esquerdo homogêneo. Ou seja, para cada v_i=(v_{i1},v_{i2},v_{i3},v_{i4}) vale
a\,v_{i1}+b\,v_{i2}+c\,v_{i3}+d\,v_{i4}=0.
Isso gera o sistema
c-3d=0,\quad 7b=0,\quad 4a=0,
cuja solução é
a=0,\quad b=0,\quad c=3d.
Escolhendo d=1 para normalizar, o vetor normal é
n=(a,b,c,d)=(0,0,3,1),
e a equação fica
3x_3 + x_4 = e.

Passo 3

Para encontrar e, basta impor que o ponto p satisfaça a equação:
3\cdot 3 + (-4) = 9 - 4 = 5,
logo
e = 5
e a equação do hiperplano é
3x_3 + x_4 = 5.

Resposta

(A)

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