Q9: Seja E_{p \times n} a forma totalmente escalonada da matriz A_{m \times n} e sejam \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m} e \vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}, respectivamente, as linhas de A e de E :
Assinale a única afirmação FALSA:
(A) \left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} é LD se, e somente se, p<m. \vee
(B) Se p<m, então \vec{v}_{m} é CL de \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m-1} \cdot \checkmark
(C) A dimensão de \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} é p. \gamma
(D) 3 p a n\left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} e \operatorname{span}\left\{\vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}\right\} são iguais.:
(E) \left\{\vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}\right\} é LI.
Passo 1
O enunciado trata das linhas de A\in\mathbb{R}^{m\times n}, chamando-as de \vec v_{1},\dots,\vec v_{m}, e da forma escalonada E\in\mathbb{R}^{p\times n} obtida por operações elementares em linha, cujas linhas não nulas são \vec w_{1},\dots,\vec w_{p}. O conteúdo aqui é o espaço linha de uma matriz, cujo posto (dimensão do espaço linha) é p, e suas relações com dependência linear das linhas.
Passo 2
Como as operações elementares em linha não alteram o espaço linha, vale
e a dimensão desse espaço (o posto de A) é p. Além disso, \{\vec w_{1},\dots,\vec w_{p}\} é LI por serem linhas de uma matriz em forma escalonada totalmente sem linhas nulas.
Passo 3
Analisando a afirmação (A): “\{\vec v_{1},\dots,\vec v_{m}\} é LD se, e somente se, p<m.”
Como a dependência linear de um conjunto ocorre exatamente quando o número de vetores excede a dimensão do espaço que geram, temos LD \iff m>p. Logo, (A) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (B): “Se p<m, então \vec v_{m} é combinação linear de \vec v_{1},\dots,\vec v_{m-1}.”
O fato de m>p garante apenas que alguma linha de A é combinação das outras, mas não necessariamente a última\vec v_{m}. A dependência pode recair sobre qualquer linha. Portanto, (B) é falsa.
Passo 5
Analisando (C): “A dimensão de \operatorname{span}\{\vec v_{1},\dots,\vec v_{m}\} é p.”
Isso decorre diretamente de que o posto de A (espaço linha) é p. Logo, (C) é verdadeira.
Passo 6
Analisando (D): “\operatorname{span}\{\vec v_{1},\dots,\vec v_{m}\} e \operatorname{span}\{\vec w_{1},\dots,\vec w_{p}\} são iguais.”
Como visto, operações de linha mantêm o espaço linha, logo os dois spans coincidem. (D) é verdadeira.
Passo 7
Analisando (E): “\{\vec w_{1},\dots,\vec w_{p}\} é LI.”
As linhas não nulas de uma forma escalonada são sempre LI, pois cada pivô aparece em uma coluna diferente. Logo, (E) é verdadeira.