Q11: Considere o sistema linear A \vec{x}=\vec{b}. Após aplicar algumas operações para escalonar a matriz ampliada do sistema obtemos a matriz E, de forma que:
[A \mid \vec{b}] \sim E=\left[\begin{array}{rrrrrrr|r} -1 & 3 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 2 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -3 \end{array}\right] . \quad D(S)=\eta V_{L I}+M E
A dimensão do conjunto-solução do sistema é:
(A) 2
(B) 3
(D) 5
(E) 6
(F) 7
com

Passo 1

O sistema tem 7 variáveis \,(x_1,\dots,x_7) e, após escalonamento, a matriz ampliada ficou
E = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 &\mid& 0\\\\ 0 & -2 & 2 & 2 & 0 & 2 & 2 &\mid& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 &\mid& -3 \end{bmatrix}.
Para encontrar a dimensão do conjunto-solução precisamos saber quantos pivôs há (ou seja, o posto da matriz de coeficientes) e depois contar as variáveis livres.

Passo 2

Identificamos os pivôs na matriz de coeficientes:
– 1º pivô em x_1 (linha 1, coluna 1)
– 2º pivô em x_2 (linha 2, coluna 2)
– 3º pivô em x_7 (linha 3, coluna 7)
Logo, o posto \mathrm{rank}(A)=3.

Passo 3

O número de variáveis livres é
\text{livres} \;=\; n - \mathrm{rank}(A)\;=\;7 - 3\;=\;4.
Em geral, a dimensão do conjunto-solução de um sistema não homogêneo é igual ao número de variáveis livres.

Passo 4

Portanto, a dimensão do conjunto-solução é 4.

Resposta

4

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