Q12: Sejam \vec{v}=(-14,-7,15,0) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(-14,-7,15,0) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
Pede para calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e, em particular, o valor da 3ª entrada de \vec{w}, isto é w_3. As alternativas são (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5, (F) 6.

Passo 2

Idéia-chave (explicada passo a passo): o plano H é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal \vec{n} da equação. Logo H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}. Se sabemos a componente de \vec{v} ao longo de \vec{n} (projeção em H^\perp), então a projeção de \vec{v} em H é simplesmente
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{H^\perp}\vec{v}.
Vou explicar a fórmula da projeção em uma reta gerada por \vec{n}: se \vec{n} é um vetor não nulo, então a projeção de \vec{v} sobre a reta \operatorname{span}\{\vec{n}\} é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Por que? Seja \alpha tal que \alpha\vec{n} seja essa projeção; então \vec{v}-\alpha\vec{n} é ortogonal a \vec{n}, logo (\vec{v}-\alpha\vec{n})\cdot\vec{n}=0. Resolvendo para \alpha obtemos \alpha=(\vec{v}\cdot\vec{n})/(\vec{n}\cdot\vec{n}). Isso dá a fórmula acima.

Passo 3

Identificamos o vetor normal \vec{n} da equação x-2y+3z+w=0. O vetor normal é formado pelos coeficientes:
\vec{n}=(1,-2,3,1).

Passo 4

Calculemos os produtos internos necessários:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-14)\cdot 1 + (-7)\cdot(-2) + 15\cdot 3 + 0\cdot 1.
Faço as contas termo a termo:
(-14)\cdot 1 = -14,\quad (-7)\cdot(-2)=14,\quad 15\cdot 3=45,\quad 0\cdot 1=0.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=-14+14+45+0=45.
Agora \vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-2)^2+3^2+1^2=1+4+9+1=15.

Passo 5

Usando a fórmula da projeção na reta gerada por \vec{n},
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}=\frac{45}{15}\,\vec{n}=3\vec{n}.
Como \vec{n}=(1,-2,3,1), obtemos
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=3(1,-2,3,1)=(3,-6,9,3).

Passo 6

A projeção de \vec{v} sobre H é \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}. Subtraindo componente a componente:
\vec{w}=(-14,-7,15,0)-(3,-6,9,3).
Calcule cada entrada:
w_1=-14-3=-17,
w_2=-7-(-6)=-7+6=-1,
w_3=15-9=6,
w_4=0-3=-3.
Portanto \vec{w}=(-17,-1,6,-3).

Passo 7

Cheque rápido (opcional, para ganhar confiança): verificar que \vec{w}\in H usando a equação x-2y+3z+w=0:
-17 -2(-1) +3\cdot 6 + (-3) = -17 +2 +18 -3 =0,
confirma que \vec{w} está em H. A terceira entrada é w_3=6.

Resposta

F) 6

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