Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede para calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e, em particular, o valor da 3ª entrada de
, isto é
. As alternativas são (A)
, (B)
, (C)
, (D)
, (E)
, (F)
.
Passo 2
Idéia-chave (explicada passo a passo): o plano
é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal
da equação. Logo
. Se sabemos a componente de
ao longo de
(projeção em
), então a projeção de
em
é simplesmente
Vou explicar a fórmula da projeção em uma reta gerada por
: se
é um vetor não nulo, então a projeção de
sobre a reta
é
Por que? Seja
tal que
seja essa projeção; então
é ortogonal a
, logo
. Resolvendo para
obtemos
. Isso dá a fórmula acima.
Passo 3
Identificamos o vetor normal
da equação
. O vetor normal é formado pelos coeficientes:
Passo 4
Calculemos os produtos internos necessários:
Faço as contas termo a termo:
Somando:
Agora
Passo 5
Usando a fórmula da projeção na reta gerada por
,
Como
, obtemos
Passo 6
A projeção de
sobre
é
. Subtraindo componente a componente:
Calcule cada entrada:
Portanto
.
Passo 7
Cheque rápido (opcional, para ganhar confiança): verificar que
usando a equação
:
confirma que
está em
. A terceira entrada é
.
Resposta
F)