Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e em particular o valor da terceira entrada
de
. As informações relevantes são:
e a equação normal de
:
.
Passo 2
Ideia de solução (explicação didática): qualquer vetor
em
pode ser escrito como soma
onde
(a projeção que queremos) e
(o componente ortogonal). Assim
Como
é dado por uma única equação linear,
é a reta gerada pelo vetor normal da equação. Projetar
em
(uma reta) é simples: é a projeção em um vetor único. Depois subtraímos esse componente para obter
.
Passo 3
A partir da equação de
extraímos o vetor normal
Portanto
. A fórmula da projeção de
sobre a reta gerada por
é
onde
é o produto interno (soma dos produtos coordenada a coordenada) e
é a norma ao quadrado de
. Depois usaremos
.
Passo 4
Calculemos o produto escalar
:
Faço cada termo:
,
,
,
. Somando:
Passo 5
Calculemos
(norma ao quadrado de
):
Passo 6
A razão escalar que aparece na projeção é
Portanto
Passo 7
Agora obtemos a projeção em
subtraindo o componente em
:
Subtraindo coordenada a coordenada:
Passo 8
A terceira entrada de
é
. Isso é a resposta pedida (verificando que
realmente satisfaz
:
, coerente).
Resposta
1