Q12: Sejam \vec{v}=(4,-7,10,-5) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(4,-7,10,-5) e o subespaço
H=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+2y-3z+w=0\right\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular o valor da terceira entrada w_{3} de \vec{w}. As informações relevantes são:
\vec{v}=(4,-7,10,-5) e a equação normal de H: x+2y-3z+w=0.

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática): qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 pode ser escrito como soma
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H (a projeção que queremos) e \vec{u}\in H^{\perp} (o componente ortogonal). Assim
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Como H é dado por uma única equação linear, H^{\perp} é a reta gerada pelo vetor normal da equação. Projetar \vec{v} em H^{\perp} (uma reta) é simples: é a projeção em um vetor único. Depois subtraímos esse componente para obter \vec{w}.

Passo 3

A partir da equação de H extraímos o vetor normal
\vec{n}=(1,2,-3,1).
Portanto H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\}. A fórmula da projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n} é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n},
onde \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto interno (soma dos produtos coordenada a coordenada) e \vec{n}\cdot\vec{n} é a norma ao quadrado de \vec{n}. Depois usaremos \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}.

Passo 4

Calculemos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}:
\vec{v}\cdot\vec{n}=4\cdot 1 + (-7)\cdot 2 + 10\cdot(-3) + (-5)\cdot 1.
Faço cada termo: 4\cdot 1=4, (-7)\cdot 2=-14, 10\cdot(-3)=-30, (-5)\cdot 1=-5. Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=4-14-30-5=-45.

Passo 5

Calculemos \vec{n}\cdot\vec{n} (norma ao quadrado de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+2^2+(-3)^2+1^2=1+4+9+1=15.

Passo 6

A razão escalar que aparece na projeção é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{-45}{15}=-3.
Portanto
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=-3\vec{n}=-3(1,2,-3,1)=(-3,-6,9,-3).

Passo 7

Agora obtemos a projeção em H subtraindo o componente em H^{\perp}:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=(4,-7,10,-5)-(-3,-6,9,-3).
Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{w}=(4-(-3),\; -7-(-6),\; 10-9,\; -5-(-3))=(7,-1,1,-2).

Passo 8

A terceira entrada de \vec{w} é w_{3}=1. Isso é a resposta pedida (verificando que \vec{w} realmente satisfaz x+2y-3z+w=0: 7+2(-1)-3(1)+(-2)=7-2-3-2=0, coerente).

Resposta

1

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