Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(2,0,-1,0),(0,-2,1,0),(8,-4,-2,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(2,3,3,2)\}
(B) \{(3,4,4,-4),(2,2,4,4)\}
(C) \{(2,2,4,4)\}
(D) \{(4,4,8,3),(2,2,4,4)\}
(E) \{(4,4,8,3),(2,3,3,2)\}
(F) \{(3,4,4,-4),(2,3,3,2)\}
(G) \{(4,4,8,3)\}
(H) \{(3,4,4,-4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pede qual conjunto entre as alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H). Dados relevantes:
v_1=(2,0,-1,0),\qquad v_2=(0,-2,1,0),\qquad v_3=(8,-4,-2,0).
Pergunta: qual dos conjuntos (A)–(H) é uma base de H^{\perp}.

Passo 2

Primeiro verifico se os três vetores geradores são linearmente independentes ou não. Vou testar relação entre v_1,v_2,v_3. Calculo 4v_1 e comparo com v_3:
4v_1 = 4(2,0,-1,0)=(8,0,-4,0).
Agora v_3-4v_1=(8,-4,-2,0)-(8,0,-4,0)=(0,-4,2,0). Note que
2v_2 = 2(0,-2,1,0)=(0,-4,2,0).
Logo
v_3 = 4v_1 + 2v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Conclusão: H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 3

Como v_1 e v_2 não são múltiplos escalares um do outro, eles são linearmente independentes. Portanto
\dim(H)=2.
Em \mathbb{R}^4 vale a relação
\dim(H)+\dim(H^{\perp})=4,
logo
\dim(H^{\perp})=4-2=2.
Portanto uma base de H^{\perp} deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes que sejam ortogonais a v_1 e a v_2.

Passo 4

Definição e condição de ortogonalidade: um vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 pertence a H^{\perp} se e só se x\cdot v_1=0 e x\cdot v_2=0, onde o produto interno é
x\cdot v = x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 + x_4 v_4
(no caso, somando coordenada a coordenada). Escrevo as equações explicitamente.
Ortogonais a v_1:
x\cdot v_1 = 2x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)x_3 + 0\cdot x_4 = 0
ou seja
2x_1 - x_3 = 0.
Ortogonais a v_2:
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + (-2)x_2 + 1\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 0
ou seja
-2x_2 + x_3 = 0.

Passo 5

Resolvo o sistema formado pelas duas equações:
\begin{cases} 2x_1 - x_3 = 0,\\[4pt] -2x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira vem x_3 = 2x_1. Da segunda vem x_3 = 2x_2. Igualando,
2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2.
A coordenada x_4 não aparece nas equações, logo é livre. Faço a parametrização com t=x_1=x_2 e s=x_4. Então
x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(t,t,2t,s)=t(1,1,2,0)+s(0,0,0,1).
Portanto
H^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,1,2,0),(0,0,0,1)\}.
Esses dois vetores são linearmente independentes (o segundo tem única coordenada não nula na posição 4, o primeiro não), e formam uma base de H^{\perp}.]

Passo 6

Agora verifico as alternativas: preciso de um conjunto com exatamente dois vetores, ambos pertencentes a H^{\perp} e independentes.
Primeiro condição para um vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) estar em H^{\perp} é:
x_1 = x_2 \quad\text{e}\quad x_3 = 2x_1.
  • Alternativas com um só vetor ((A), (C), (G), (H)) não podem ser base porque \dim(H^{\perp})=2. Logo (A), (C), (G), (H) estão descartadas.
  • Verifico os pares:
    • (B) tem (3,4,4,-4) e (2,2,4,4). O segundo satisfaz 2=2 e 4=2\cdot2, então está em H^{\perp}. O primeiro tem 3\neq4, portanto NÃO está em H^{\perp}. Logo (B) não é base.
    • (E) tem (4,4,8,3) e (2,3,3,2). O primeiro satisfaz 4=4 e 8=2\cdot4, então está em H^{\perp}. O segundo tem 2\neq3, logo NÃO está em H^{\perp}. Então (E) não é base.
    • (F) tem (3,4,4,-4) e (2,3,3,2). Ambos não satisfazem x_1=x_2, portanto nenhum pertence a H^{\perp}. Logo (F) não é base.
    • (D) tem (4,4,8,3) e (2,2,4,4). Verifico: para (4,4,8,3) temos 4=4 e 8=2\cdot4, está em H^{\perp}. Para (2,2,4,4) temos 2=2 e 4=2\cdot2, também está em H^{\perp}. Agora checo independência: se um fosse múltiplo escalar do outro, todas as razões entre coordenadas seriam iguais; aqui \tfrac{4}{2}=2, \tfrac{4}{2}=2, \tfrac{8}{4}=2, mas \tfrac{3}{4}\neq2. Portanto não são múltiplos escalares e são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em H^{\perp} (que tem dimensão 2), eles formam uma base.

Resposta

(D)

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