Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores e pede qual conjunto entre as alternativas é uma base de
(o complemento ortogonal de
). Dados relevantes:
Pergunta: qual dos conjuntos (A)–(H) é uma base de
.
Passo 2
Primeiro verifico se os três vetores geradores são linearmente independentes ou não. Vou testar relação entre
. Calculo
e comparo com
:
Agora
. Note que
Logo
ou seja,
é combinação linear de
e
. Conclusão:
.
Passo 3
Como
e
não são múltiplos escalares um do outro, eles são linearmente independentes. Portanto
Em
vale a relação
logo
Portanto uma base de
deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes que sejam ortogonais a
e a
.
Passo 4
Definição e condição de ortogonalidade: um vetor
pertence a
se e só se
e
, onde o produto interno é
(no caso, somando coordenada a coordenada). Escrevo as equações explicitamente.
Ortogonais a
:
ou seja
Ortogonais a
:
ou seja
Passo 5
Resolvo o sistema formado pelas duas equações:
Da primeira vem
. Da segunda vem
. Igualando,
A coordenada
não aparece nas equações, logo é livre. Faço a parametrização com
e
. Então
Portanto
Esses dois vetores são linearmente independentes (o segundo tem única coordenada não nula na posição 4, o primeiro não), e formam uma base de
.]
Passo 6
Agora verifico as alternativas: preciso de um conjunto com exatamente dois vetores, ambos pertencentes a
e independentes.
Primeiro condição para um vetor
estar em
é:
-
Alternativas com um só vetor ((A), (C), (G), (H)) não podem ser base porque
. Logo (A), (C), (G), (H) estão descartadas. -
Verifico os pares:
- (B) tem
e . O segundo satisfaz e , então está em . O primeiro tem , portanto NÃO está em . Logo (B) não é base. - (E) tem
e . O primeiro satisfaz e , então está em . O segundo tem , logo NÃO está em . Então (E) não é base. - (F) tem
e . Ambos não satisfazem , portanto nenhum pertence a . Logo (F) não é base. - (D) tem
e . Verifico: para temos e , está em . Para temos e , também está em . Agora checo independência: se um fosse múltiplo escalar do outro, todas as razões entre coordenadas seriam iguais; aqui , , , mas . Portanto não são múltiplos escalares e são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em (que tem dimensão 2), eles formam uma base.
- (B) tem
Resposta
(D)