Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
II. Se para algum \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} o sistema A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho m\times n e apresenta duas afirmativas sobre soluções do sistema A\vec{x}=\vec{b}:
  • I. Se Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
  • II. Se para algum \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
A pergunta é: quais dessas afirmativas são verdadeiras? (Escolher entre as alternativas A, B, C ou D.)

Passo 2

Vou explicar o que significa “Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}” e quais consequências diretas isso tem para as soluções de A\vec{x}=\vec{b}.
Definição: o núcleo (ou espaço nulo) de A é o conjunto
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
Dizer \ker(A)=\{\vec{0}\} significa que a única solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0} é \vec{x}=\vec{0}. Em palavras: as colunas de A são linearmente independentes.
Conseqüência útil: se \ker(A)=\{\vec{0}\}, então a transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x} é injetora. Injetora significa que para cada \vec{b} existe no máximo uma \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{b} — ou seja, soluções são únicas quando existem. Atenção: injetividade garante “no máximo uma” solução, não garante que exista solução para todo \vec{b}.

Passo 3

Aplicando o raciocínio do Passo 2 à afirmativa I:
A afirmativa I afirma que do fato \ker(A)=\{\vec{0}\} segue que para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema tem solução única. Pelo que vimos, \ker(A)=\{\vec{0}\} garante apenas unicidade quando a solução existe, mas não garante existência para todo \vec{b}. Para que todo \vec{b} tenha solução única é preciso, além de injetividade, que A seja sobrejetora (isto é, que a imagem de A seja todo \mathbb{R}^{m}). Em termos de matrizes, é preciso que as colunas de A gerem \mathbb{R}^{m}. Em geral uma matriz m\times n com \ker(A)=\{\vec{0}\} tem posto \rank(A)=n, então só é sobrejetora se n\ge m e \rank(A)=m (caso contrário não gera todo \mathbb{R}^m).
Portanto, I não é verdadeira em geral. Para fixar a intuição, segue um contraexemplo concreto.

Passo 4

Contraexemplo para I (mostrando que I é falsa):
Escolha m=3, n=2 e
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix},
uma matriz 3\times2. Calcule o núcleo: A\vec{x}=\vec{0} significa
\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},
logo x_1=0 e x_2=0. Assim \ker(A)=\{\vec{0}\}.
Porém, pegue \vec{b}=(0,0,1)^{T}\in\mathbb{R}^{3}. Se existisse \vec{x} com A\vec{x}=\vec{b} teríamos
A\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
o que é impossível porque a terceira componente do produto A\vec{x} é sempre 0. Logo não existe solução para esse \vec{b}. Assim: \ker(A)=\{\vec{0}\} mas nem todo \vec{b} tem solução — a afirmativa I falha. (Conclusão: I é falsa.)]

Passo 5

Agora trato a afirmativa II. Ela diz: se para algum \vec{b} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então \ker(A)=\{\vec{0}\}.
Primeiro, vamos entender o que significa ter infinitas soluções. Se existem infinitas soluções, então existem pelo menos duas soluções distintas \vec{x}_1 e \vec{x}_2 tais que
A\vec{x}_1=\vec{b}\quad\text{e}\quad A\vec{x}_2=\vec{b},
com \vec{x}_1\neq\vec{x}_2.
Subtraindo as duas igualdades obtemos
A(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=\vec{0}.
Como \vec{x}_1\neq\vec{x}_2, o vetor \vec{v}=\vec{x}_1-\vec{x}_2 é não-nulo e pertence ao núcleo de A. Portanto \ker(A) contém um vetor não-nulo, isto é, \ker(A)\neq\{\vec{0}\}.
Isto prova logicamente que se existe algum \vec{b} com infinitas soluções, então o núcleo não é trivial. A afirmativa II afirma justamente o contrário (que o núcleo é trivial), portanto II é falsa.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I é falsa (contraexemplo fornecido).
  • II é falsa (prova direta: infinitas soluções implicam núcleo não trivial).
Logo ambas as afirmativas são falsas.

Resposta

(A)

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