Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=3 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \text {. }
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
(A) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -3\end{array}\right]
(B) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(C) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -3\end{array}\right] M
(D) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right]
(E) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right] M
(F) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
(G) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(H) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}.
  • Uma matriz A satisfazendo
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
  • A matriz M definida por
M=\begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{bmatrix},
ou seja, as colunas de M são \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}.
O que se pede: identificar, entre as alternativas (A)–(H), qual igualdade matricial é verdadeira.

Passo 2

Entender a relação entre A, M e as imagens A\vec{v}_{i}.
Quando se multiplica A por M tem-se, pelo modo como a multiplicação matricial age sobre colunas:
A M = \begin{bmatrix}A\vec{v}_{1} & A\vec{v}_{2} & A\vec{v}_{3}\end{bmatrix}.
Isto é, a coluna i de AM é exatamente A\vec{v}_{i}. Esta observação é a chave para comparar com as alternativas.

Passo 3

Representação das colunas de AM em relação à base \beta.
Se existir uma matriz C tal que
A M = M C,
então a coluna i de C contém as coordenadas de A\vec{v}_{i} na base \beta. Explicando: se a coluna i de C é \begin{bmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{bmatrix}, então
M\begin{bmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{bmatrix}=c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}
deve ser igual a A\vec{v}_{i}. Portanto para montar C basta escrever cada A\vec{v}_{i} como combinação linear das \vec{v}_{j} e colocar esses coeficientes como coluna i de C.

Passo 4

Coordenadas de A\vec{v}_{1} em \beta.
Do enunciado, A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}. Escrever isso como combinação linear das base vectors:
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}+0\vec{v}_{2}+0\vec{v}_{3}.
Logo a coluna 1 de C é
c^{(1)}=\begin{bmatrix}3\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.

Passo 5

Coordenadas de A\vec{v}_{2} em \beta.
Do enunciado, A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}. Escrevendo como combinação linear:
A\vec{v}_{2}=1\cdot\vec{v}_{1}+0\cdot\vec{v}_{2}+(-3)\cdot\vec{v}_{3}.
Logo a coluna 2 de C é
c^{(2)}=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix}.

Passo 6

Coordenadas de A\vec{v}_{3} em \beta.
Do enunciado, A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}, que é idêntico ao caso anterior. Assim a coluna 3 de C é
c^{(3)}=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix}.

Passo 7

Montagem da matriz C cujas colunas são c^{(1)},c^{(2)},c^{(3)}.
Portanto
C=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & -3 & -3\end{bmatrix}.
Pelo raciocínio anterior, a igualdade correta é
A M = M C.]

Passo 8

Comparação com as alternativas: a alternativa que afirma exatamente
A M = M\begin{bmatrix}3 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & -3 & -3\end{bmatrix}
é a alternativa (A). Logo (A) é a correta e as demais estão incorretas.]

Resposta

(A)

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