Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(3)=2 p(7) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 9 \times 8 é um subespaço vetorial.
III - O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.

Passo 1

Resumindo, precisamos decidir quais dos três conjuntos são subespaços vetoriais em seus respectivos espaços:
I – Conjunto V = \{p\in P_2 \mid p(3)=2\,p(7)\}.
II – Conjunto W = \{\vec v\in\mathbb R^8 \mid A\vec v \text{ tem todas as entradas positivas}\}, com A sendo 9\times8.
III – Conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb R^4.
Lembrando que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado em soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando I: defina o funcional linear
L\colon P_2 \to \mathbb R,\quad L(p)=p(3)-2\,p(7).
Então V=\ker(L). O núcleo de um funcional linear é sempre subespaço:
  1. O polinômio zero satisfaz 0=2\cdot0, logo está em V.
  2. Se p,q\in V, então
L(p+q)=L(p)+L(q)=0+0=0,
ou seja, p+q\in V.
3. Para todo escalar \lambda,
L(\lambda p)=\lambda L(p)=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda p\in V.
Portanto I é verdadeira.

Passo 3

Verificando II: o conjunto exige que A\vec v tenha todas as coordenadas estritamente positivas.
– O vetor zero \vec0 satisfaz A\vec0=\vec0, cujas entradas são zero, não positivas. Então \vec0\notin W.
– Mesmo que \vec v,\vec w\in W implicasse A(\vec v+\vec w)=A\vec v+A\vec w>0, a falha em conter \vec0 já impede que seja subespaço.
Além disso, multiplicar por escalar negativo quebra a positividade.
Logo II é falsa.

Passo 4

Verificando III: o conjunto \{(1,1,1,1)\} tem só um vetor não nulo.
– Não contém o vetor zero (0,0,0,0).
– Além disso, se você somar (1,1,1,1) com ele mesmo ou multiplicar por escalar, sai do conjunto unitário.
Portanto III é falsa.

Passo 5

Concluindo, apenas I é verdadeira. A alternativa correta é a (F).

Resposta

(F) Apenas I é verdadeira.

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