Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
III - O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
II - O conjunto de todos
III - O conjunto
Passo 1
Resumindo, precisamos decidir quais dos três conjuntos são subespaços vetoriais em seus respectivos espaços:
I – Conjunto .
II – Conjunto , com
sendo
.
III – Conjunto .
Lembrando que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado em soma e multiplicação por escalar.
I – Conjunto
II – Conjunto
III – Conjunto
Lembrando que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado em soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando I: defina o funcional linear
Então
. O núcleo de um funcional linear é sempre subespaço:
- O polinômio zero satisfaz
, logo está em . - Se
, então
ou seja,
.
3. Para todo escalar ,
3. Para todo escalar
logo
.
Portanto I é verdadeira.
Portanto I é verdadeira.
Passo 3
Verificando II: o conjunto exige que
tenha todas as coordenadas estritamente positivas.
– O vetor zero satisfaz
, cujas entradas são zero, não positivas. Então
.
– Mesmo que implicasse
, a falha em conter
já impede que seja subespaço.
Além disso, multiplicar por escalar negativo quebra a positividade.
Logo II é falsa.
– O vetor zero
– Mesmo que
Além disso, multiplicar por escalar negativo quebra a positividade.
Logo II é falsa.
Passo 4
Verificando III: o conjunto
tem só um vetor não nulo.
– Não contém o vetor zero .
– Além disso, se você somar com ele mesmo ou multiplicar por escalar, sai do conjunto unitário.
Portanto III é falsa.
– Não contém o vetor zero
– Além disso, se você somar
Portanto III é falsa.
Passo 5
Concluindo, apenas I é verdadeira. A alternativa correta é a (F).
Resposta
(F) Apenas I é verdadeira.