Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{15}\right) \in \mathbb{R}^{15} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{14} & =x_{13} \\\ x_{8} & =x_{4} \\\ x_{7} & =x_{9} \\\ x_{8}+x_{14} & =x_{4}+x_{13} \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle S=\bigl\{(x_{1},\dots,x_{15})\in\mathbb{R}^{15}\mid\) \[\begin{cases} x_{14}=x_{13},\\\ x_{8}=x_{4},\\\ x_{7}=x_{9},\\\ x_{8}+x_{14}=x_{4}+x_{13} \end{cases} (\bigr}].
O conteúdo é Álgebra Linear: subespaços de \mathbb{R}^{n}, equações lineares homogêneas e dimensão.

Passo 2

Escrevendo as quatro equações como combinações lineares homogêneas:
\begin{aligned} x_{14}-x_{13}&=0,\\\ x_{8}-x_{4}&=0,\\\ x_{7}-x_{9}&=0,\\\ x_{8}+x_{14}-x_{4}-x_{13}&=0. \end{aligned}
Cada uma é uma equação linear em \mathbb{R}^{15}.

Passo 3

Observe que a quarta equação
x_{8}+x_{14}-x_{4}-x_{13}=0
é exatamente a soma das duas primeiras:
(x_{8}-x_{4})+(x_{14}-x_{13})=0.
Logo só há 3 equações independentes.

Passo 4

Como temos 3 equações lineares independentes em \mathbb{R}^{15}, o subespaço S tem dimensão
\dim S = 15 - 3 = 12.

Passo 5

Uma forma paramétrica de um vetor em S é escolher como variáveis livres
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{9},x_{10},x_{11},x_{12},x_{13},x_{15}
e então definir
x_{7}=x_{9},\quad x_{8}=x_{4},\quad x_{14}=x_{13}.
Isso mostra explicitamente que há 12 graus de liberdade.

Resposta

\displaystyle \dim S = 12.

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