Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 1 \\\\ 5 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -7 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

Temos quatro vetores em \mathbb{R}^4
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 5\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ -7\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}
e queremos \dim\bigl(\span\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\bigr). Pelo teorema, isso é igual ao posto da matriz cujas colunas são esses vetores. Vamos montar essa matriz e usar eliminação de Gauss para encontrar o número de pivôs.

Passo 2

Montamos
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & -7 & 3\\\\ -3& 5 & 4 & 0\\\\ -1& 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Usamos o pivô a_{11}=1 para zerar abaixo:
R _2\leftarrowR _2-R _1,
R _3\leftarrowR _3 +3 R _1,
R _4\leftarrowR _4+R _1.
Fica
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\\\ 0 & 3 & -6 & 3\\\\ 0 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô na posição (2,2) vale 3. Dividimos R _2 por 3 e eliminamos as outras entradas da coluna 2:
R _2\leftarrow\tfrac13R _2,
R _1\leftarrowR _1 +2 R _2,
R _3\leftarrowR _3+R _2,
R _4\leftarrowR _4-R _2.
Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

O pivô em (3,3) vale -1. Multiplicamos R _3 por -1 e eliminamos col 3 nas outras linhas:
R _3\leftarrow-R _3,
R _1\leftarrowR _1 +5 R _3,
R _2\leftarrowR _2 +2 R _3,
R _4\leftarrowR _4-2 R _3.
Fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Contamos os pivôs não nulos nas colunas 1, 2 e 3: há 3 pivôs. Portanto
\dim\bigl(\span\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\bigr)=3.

Resposta

(D) 3

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