Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
III - O conjunto das matrizes
onde
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - O conjunto de todos
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
III - O conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado apresenta três conjuntos e nos pede para verificar quais são subespaços vetoriais de acordo com a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
-
, - para quaisquer
, , - para qualquer escalar
e qualquer , .
Vamos analisar cada afirmativa usando essas condições.
Passo 2
I – O conjunto
é justamente o núcleo de uma transformação linear
. Sabemos que o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço (contém
e é fechado em soma e multiplicação por escalar).
Logo, I é verdadeira.
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
II – O conjunto
satisfaz a condição não homogênea
. O polinômio zero não pertence pois
. Além disso, soma ou múltiplo escalar de duas soluções não satisfaz necessariamente o mesmo valor 7 na diferença dos pontos.
Logo, II não é subespaço e é falsa.
Logo, II não é subespaço e é falsa.
Passo 4
III – O conjunto
impõe a condição linear homogênea
. O zero da matriz satisfaz
. Soma e escala respeitam essa igualdade, pois se em
e
vale
e
, então em
e em
a condição continua válida.
Logo, III é verdadeira.
Logo, III é verdadeira.
Passo 5
Concluímos que apenas I e III são verdadeiras.
Resposta
G