Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - O conjunto de todos
\vec{v} \in \mathbb{R}^{5} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 2 \times 5 é um subespaço vetorial.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(9)=7+p(8) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33}\left(a_{i j}\right. é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado apresenta três conjuntos e nos pede para verificar quais são subespaços vetoriais de acordo com a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. \vec{0}\in W,
  2. para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in W, \vec{u}+\vec{v}\in W,
  3. para qualquer escalar c e qualquer \vec{v}\in W, c\vec{v}\in W.
    Vamos analisar cada afirmativa usando essas condições.

Passo 2

I – O conjunto \{\vec v\in\mathbb{R}^5\mid A\vec v=0\} é justamente o núcleo de uma transformação linear A\colon\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^2. Sabemos que o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço (contém \vec0 e é fechado em soma e multiplicação por escalar).
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

II – O conjunto \{p\in P_2\mid p(9)=7+p(8)\} satisfaz a condição não homogênea p(9)-p(8)=7. O polinômio zero não pertence pois 0-0\neq7. Além disso, soma ou múltiplo escalar de duas soluções não satisfaz necessariamente o mesmo valor 7 na diferença dos pontos.
Logo, II não é subespaço e é falsa.

Passo 4

III – O conjunto \{A\in M_{3\times3}\mid a_{22}=-a_{33}\} impõe a condição linear homogênea a_{22}+a_{33}=0. O zero da matriz satisfaz 0+0=0. Soma e escala respeitam essa igualdade, pois se em A e B vale a_{22}=-a_{33} e b_{22}=-b_{33}, então em A+B e em cA a condição continua válida.
Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que apenas I e III são verdadeiras.

Resposta

G

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