Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{14}\right) \in \mathbb{R}^{14} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{14} & =x_{10} \\\ x_{13} & =x_{6} \\\ x_{7} & =x_{3} \\\ x_{13}+x_{14} & =x_{6}+x_{10} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 12
(B) 3
(C) 10
(D) 4
(E) 11
(F) 2
(G) 14
(H) 13

Passo 1

O enunciado define \;S=\{(x_{1},\dots,x_{14})\in\mathbb{R}^{14}\mid quatro equações lineares \}
e pede a dimensão de S. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: a dimensão do espaço solução de um sistema homogêneo é igual ao número de variáveis menos o número de equações linearmente independentes.

Passo 2

Escrevemos as quatro equações como restrições lineares homogêneas:
x_{14}-x_{10}=0, \quad x_{13}-x_{6}=0, \quad x_{7}-x_{3}=0, \quad x_{13}+x_{14}-x_{6}-x_{10}=0.

Passo 3

Observamos que a quarta equação
x_{13}+x_{14}-x_{6}-x_{10}=0
é a soma das duas primeiras:
(x_{13}-x_{6})+(x_{14}-x_{10})=0.
Logo, ela não traz nenhuma condição nova.

Passo 4

Portanto o sistema efetivamente possui apenas três equações linearmente independentes em 14 variáveis.

Passo 5

A dimensão de S é dada por
14 - 3 = 11.

Resposta

(E) 11

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