Q15: Seja p(x)=6-4 x-28 x^{2} e \beta=\left\{-1+x+2 x^{2}, \quad 1-2 x, \quad-2+x+9 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 1
(E) -2
(F) -4
(G) -3
(H) -1
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
p(x)=6 - 4x - 28x^{2}
e a base
\beta=\{\,v_{1}=-1 + x + 2x^{2},\quad v_{2}=1 - 2x,\quad v_{3}=-2 + x + 9x^{2}\}
do espaço dos polinômios de grau <=2. Queremos escrever
p(x)=a\,v_{1}(x)+b\,v_{2}(x)+c\,v_{3}(x)
e achar a coordenada c.
Passo 2
Escrevendo a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3} e somando coeficientes em cada monômio, temos
a\,v_{1}(x)=(-a)+a\,x+2a\,x^{2},
b\,v_{2}(x)=b-2b\,x,
c\,v_{3}(x)=(-2c)+c\,x+9c\,x^{2}.
Somando, o coeficiente de cada potência de x fica:
constante: -a + b - 2c
coeficiente de x: a - 2b + c
coeficiente de x^{2}: 2a + 9c
que devem coincidir com os de p(x), isto é,
\begin{cases} -a + b - 2c = 6,\\\ a - 2b + c = -4,\\\\ 2a + 9c = -28. \end{cases}
Substituindo nas duas primeiras ou, mais diretamente, eliminando b entre a primeira e a segunda, chega-se a uma equação só em a e c. Fazendo isso (ou resolvendo o sistema de forma direta), obtém-se