Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5 \\\\ 6 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos vetores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\; v_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 6\\\ 5\end{pmatrix},\; v_{3}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 2\\\ 7\end{pmatrix},\; v_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} em \mathbb{R}^{4}.
Para isso, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu posto por eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0\\\\ 2 & 5 & 3 & -1\\\\ 2 & 6 & 2 & -2\\\\ 3 & 5 & 7 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-3R_{1},
obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 2 & -2 & -2\\\\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos R_{2} para zerar abaixo:
R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}+R_{2},
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Contamos os pivôs (linhas não nulas): há 2 pivôs (nas colunas 1 e 2). Portanto o posto de A é 2, e a dimensão do span dos vetores também é 2.

Resposta

(C) 2

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