Q13: Determine a dimen são de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 0 \\\\ -8 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 6 \\\\ -3 \\\\ 6\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

Resumindo, temos quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ -8\\\ -2\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}3\\\ 6\\\ -3\\\ 6\end{pmatrix},
e queremos \emph{dimension} do espaço gerado por eles, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes. Para isso, montamos a combinação linear
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 + d\,v_4 = 0
e achamos quantas soluções independentes existem.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada da igualdade
a\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ -8\\\ -2\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}3\\\ 6\\\ -3\\\ 6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
obtemos o sistema
\begin{cases} a - 2c + 3d = 0,\\\ a + b + 6d = 0,\\\\ -3b -8c -3d = 0,\\\\ -2c +6d = 0. \end{cases}

Passo 3

Da última equação -2c + 6d = 0 segue
c = 3d.
Substituindo em a - 2c +3d=0
a -2(3d)+3d=0\;\Longrightarrow\;a = 3d.
E em a + b +6d=0 fica
3d + b +6d=0\;\Longrightarrow\;b = -9d.

Passo 4

A terceira equação se torna redundante ao usar essas expressões. Logo o vetor de coeficientes (a,b,c,d) satisfaz
(a,b,c,d) = d\,(3,\,-9,\,3,\,1),
ou seja, há exatamente um grau de liberdade d. Isso mostra que a nulidade (número de relações lineares independentes) entre os quatro vetores é 1.

Passo 5

Pelo Teorema da Dimensão (dimensão do espaço de colunas = número de vetores – nulidade), o posto é
\text{posto} = 4 - 1 = 3.
Portanto, a dimensão do span é 3.

Resposta

(D) 3

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