Q13: Determine a dimen são de
.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Passo 1
Resumindo, temos quatro vetores em
:
e queremos \emph{dimension} do espaço gerado por eles, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes. Para isso, montamos a combinação linear
e achamos quantas soluções independentes existem.
Passo 2
Escrevendo coordenada a coordenada da igualdade
obtemos o sistema
Passo 3
Da última equação
segue
Substituindo em
dá
E em
fica
Passo 4
A terceira equação se torna redundante ao usar essas expressões. Logo o vetor de coeficientes
satisfaz
ou seja, há exatamente um grau de liberdade
. Isso mostra que a nulidade (número de relações lineares independentes) entre os quatro vetores é 1.
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão (dimensão do espaço de colunas = número de vetores – nulidade), o posto é
Portanto, a dimensão do span é 3.
Resposta
(D) 3