Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{17}\right) \in \mathbb{R}^{17} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{17} & =x_{8} \\\ x_{11} & =x_{10} \\\ x_{3} & =x_{1} \\\ x_{11}+x_{17} & =x_{10}+x_{8} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 16
(B) 15
(C) 14
(D) 4
(E) 17
(F) 13
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado define
S = \{(x_{1},\dots,x_{17})\in \mathbb{R}^{17}\mid \begin{cases} x_{17}=x_{8},\\\ x_{11}=x_{10},\\\ x_{3}=x_{1},\\\ x_{11}+x_{17}=x_{10}+x_{8} \end{cases} \}
ou seja, um subespaço de \mathbb{R}^{17} dado por equações lineares homogêneas. Para achar a dimensão de S, vamos usar a fórmula
\dim S = n - \rank(A),
em que n=17 e A é a matriz dos coeficientes das equações.

Passo 2

Reescrevendo as quatro restrições na forma homogênea:
\begin{aligned} x_{17}-x_{8}&=0,\\\ x_{11}-x_{10}&=0,\\\ x_{3}-x_{1}&=0,\\\ x_{11}+x_{17}-x_{10}-x_{8}&=0. \end{aligned}
Podemos pensar que cada linha aqui é uma equação linear, e o número de equações independentes é o posto de A.

Passo 3

Note que a quarta equação é simplesmente a soma da primeira com a segunda:
(x_{17}-x_{8}) + (x_{11}-x_{10}) = x_{11}+x_{17}-x_{10}-x_{8}.
Logo, ela não traz nenhuma informação nova. As únicas equações independentes são:
x_{17}-x_{8}=0,\quad x_{11}-x_{10}=0,\quad x_{3}-x_{1}=0,
totalizando \rank(A)=3.

Passo 4

Aplicando a fórmula da dimensão de um espaço solução de sistema homogêneo:
\dim S = 17 - 3 = 14.

Resposta

14

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