Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -4 \\\\ 6 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -3 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -4 \\\\ -3 \\\\ 7\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado por quatro vetores em \mathbb{R}^4.
O conteúdo envolvido é cálculo de posto de matriz via eliminação de Gauss, pois a dimensão do span desses vetores é igual ao posto da matriz cujas colunas são eles.

Passo 2

Escrevemos os vetores como colunas de uma matriz A:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -3 & -4 & 0 & -4 \\\\ 3 & 6 & -3 & -3 \\\\ -2 & -2 & -5 & 7 \end{pmatrix}
Para encontrar a dimensão do span, basta calcular \operatorname{rank}(A) usando eliminação de Gauss.

Passo 3

Aplicamos as operações \displaystyle R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1.
Fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 3 & -1 \\\\ 0 & 3 & -6 & -6 \\\\ 0 & 0 & -3 & 9 \end{pmatrix}

Passo 4

Pivotamos na segunda coluna com \displaystyle R_2 \leftarrow -\,R_2,
então eliminamos abaixo com \displaystyle R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2
e \displaystyle R_4 \leftarrow R_4 + 3R_3.
Obtemos:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 & -9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Passo 5

Pivotamos na terceira coluna com \displaystyle R_3 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_3
e eliminamos acima ajustando R_1 e R_2. A forma escalonada reduzida é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 12 \\\\ 0 & 1 & 0 & -8 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Há três linhas não nulas, logo \operatorname{rank}(A)=3. Portanto a dimensão do span é 3.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados