Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente os dados (peguei todos os vetores do enunciado) e o que é pedido.
Primeiro plano: ponto base p_{0}=\left[\begin{array}{r}2\\\ -3\\\ 2\\\ 3\end{array}\right] e vetores diretores u=\left[\begin{array}{r}-1\\\ 3\\\ 2\\\ 1\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{r}1\\\ -1\\\ 2\\\ 1\end{array}\right].
Assim o primeiro plano é
P=\{\,p_{0}+s\,u+t\,v \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Segundo plano: ponto base q_{0}=\left[\begin{array}{r}1\\\ -2\\\ 0\\\ 6\end{array}\right] e vetores diretores w=\left[\begin{array}{r}-3\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{array}\right], z=\left[\begin{array}{r}-2\\\ -1\\\ 1\\\ -2\end{array}\right].
Assim o segundo plano é
Q=\{\,q_{0}+r\,w+q\,z \mid r,q\in\mathbb{R}\,\}.
O enunciado pede o ponto de interseção dos dois planos e, em particular, o valor da primeira coordenada x_{1} desse ponto. Não há ambiguidade: devemos resolver
p_{0}+s u+t v = q_{0}+r w+q z
para encontrar as coordenadas do ponto comum.
Passo 2
Escrever as quatro equações escalares obtidas ao igualar componente a componente.
Seja s,t,r,q os parâmetros (do primeiro plano: s,t; do segundo: r,q). Igualando componentes temos:
componente 1:
2 - s + t = 1 -3r -2q
componente 2:
-3 +3s - t = -2 + r - q
componente 3:
2 +2s +2t = r + q
componente 4:
3 + s + t = 6 -2q
Cada uma dessas é uma equação linear nas incógnitas s,t,r,q.
Passo 3
Reescrever cada equação em forma linear padrão (colocando todos os termos no mesmo lado) para montar o sistema.
Subtraindo o lado direito do esquerdo em cada equação obtemos:
\begin{aligned} &-s + t +3r +2q = -1,\\\ &3s - t - r + q = 1,\\\ &2s +2t - r - q = -2,\\\ &s + t +2q = 3. \end{aligned}
Este é um sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas s,t,r,q.
Passo 4
Usar a equação mais simples para eliminar variáveis. A última equação é direta:
s + t +2q = 3.
Desse modo podemos expressar s em função de t e q:
s = 3 -2q - t.
Vou substituir essa expressão nas outras três equações para eliminar s.
Passo 5
Substituir s=3-2q-t nas três primeiras equações e simplificar uma a uma.
Substituição na primeira equação -s + t +3r +2q = -1:
-(3-2q-t) + t +3r +2q = -1.
Simplificando:
-3 +2q + t + t +3r +2q = -1 \quad\Rightarrow\quad 2t +3r +4q = 2.
Substituição na segunda equação 3s - t - r + q = 1:
3(3-2q-t) - t - r + q = 1.
Simplificando:
9 -6q -3t - t - r + q = 1 \quad\Rightarrow\quad 4t + r +5q = 8.
Substituição na terceira equação 2s +2t - r - q = -2:
2(3-2q-t) +2t - r - q = -2.
Simplificando:
6 -4q -2t +2t - r - q = -2 \quad\Rightarrow\quad r +5q = 8.