Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 6 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ -2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente os dados (peguei todos os vetores do enunciado) e o que é pedido.
  • Primeiro plano: ponto base p_{0}=\left[\begin{array}{r}2\\\ -3\\\ 2\\\ 3\end{array}\right] e vetores diretores
    u=\left[\begin{array}{r}-1\\\ 3\\\ 2\\\ 1\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{r}1\\\ -1\\\ 2\\\ 1\end{array}\right].
    Assim o primeiro plano é
    P=\{\,p_{0}+s\,u+t\,v \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
  • Segundo plano: ponto base q_{0}=\left[\begin{array}{r}1\\\ -2\\\ 0\\\ 6\end{array}\right] e vetores diretores
    w=\left[\begin{array}{r}-3\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{array}\right], z=\left[\begin{array}{r}-2\\\ -1\\\ 1\\\ -2\end{array}\right].
    Assim o segundo plano é
    Q=\{\,q_{0}+r\,w+q\,z \mid r,q\in\mathbb{R}\,\}.
O enunciado pede o ponto de interseção dos dois planos e, em particular, o valor da primeira coordenada x_{1} desse ponto. Não há ambiguidade: devemos resolver
p_{0}+s u+t v = q_{0}+r w+q z
para encontrar as coordenadas do ponto comum.

Passo 2

Escrever as quatro equações escalares obtidas ao igualar componente a componente.
Seja s,t,r,q os parâmetros (do primeiro plano: s,t; do segundo: r,q). Igualando componentes temos:
componente 1:
2 - s + t = 1 -3r -2q
componente 2:
-3 +3s - t = -2 + r - q
componente 3:
2 +2s +2t = r + q
componente 4:
3 + s + t = 6 -2q
Cada uma dessas é uma equação linear nas incógnitas s,t,r,q.

Passo 3

Reescrever cada equação em forma linear padrão (colocando todos os termos no mesmo lado) para montar o sistema.
Subtraindo o lado direito do esquerdo em cada equação obtemos:
\begin{aligned} &-s + t +3r +2q = -1,\\\ &3s - t - r + q = 1,\\\ &2s +2t - r - q = -2,\\\ &s + t +2q = 3. \end{aligned}
Este é um sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas s,t,r,q.

Passo 4

Usar a equação mais simples para eliminar variáveis. A última equação é direta:
s + t +2q = 3.
Desse modo podemos expressar s em função de t e q:
s = 3 -2q - t.
Vou substituir essa expressão nas outras três equações para eliminar s.

Passo 5

Substituir s=3-2q-t nas três primeiras equações e simplificar uma a uma.
Substituição na primeira equação -s + t +3r +2q = -1:
-(3-2q-t) + t +3r +2q = -1.
Simplificando:
-3 +2q + t + t +3r +2q = -1 \quad\Rightarrow\quad 2t +3r +4q = 2.
Substituição na segunda equação 3s - t - r + q = 1:
3(3-2q-t) - t - r + q = 1.
Simplificando:
9 -6q -3t - t - r + q = 1 \quad\Rightarrow\quad 4t + r +5q = 8.
Substituição na terceira equação 2s +2t - r - q = -2:
2(3-2q-t) +2t - r - q = -2.
Simplificando:
6 -4q -2t +2t - r - q = -2 \quad\Rightarrow\quad r +5q = 8.
Agora o sistema reduzido (sem s) é:
\begin{aligned} &2t +3r +4q = 2,\\\ &4t + r +5q = 8,\\\ &r +5q = 8. \end{aligned}

Passo 6

Resolver o sistema reduzido. Da terceira equação temos diretamente
r +5q = 8 \quad\Rightarrow\quad r = 8 -5q.
Substituir em 4t + r +5q = 8:
4t + (8-5q) +5q = 8 \quad\Rightarrow\quad 4t +8 = 8 \quad\Rightarrow\quad 4t = 0,
logo
t = 0.
Agora usar a primeira equação reduzida 2t +3r +4q = 2 com t=0:
3r +4q = 2.
Substituir r=8-5q:
3(8-5q) +4q = 2 \quad\Rightarrow\quad 24 -15q +4q = 2 \quad\Rightarrow\quad -11q = -22,
portanto
q = 2.
E então
r = 8 -5q = 8 -10 = -2.

Passo 7

Determinar s a partir de s = 3 -2q - t. Já temos q=2 e t=0, então
s = 3 -2\cdot 2 - 0 = 3 -4 = -1.
Portanto os parâmetros são s=-1,\\ t=0,\\ r=-2,\\ q=2.

Passo 8

Calcular o ponto de interseção substituindo em uma das representações paramétricas (uso a do primeiro plano por ser direta):
\begin{aligned} x &= p_{0} + s\,u + t\,v\\[4pt] &= \left[\begin{array}{r}2\\\ -3\\\ 2\\\ 3\end{array}\right] +(-1)\left[\begin{array}{r}-1\\\ 3\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] +0\left[\begin{array}{r}1\\\ -1\\\ 2\\\ 1\end{array}\right]. \end{aligned}
Fazendo as somas componente a componente:
x = \left[\begin{array}{r}2+1\\\ -3-3\\\ 2-2\\\ 3-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}3\\\ -6\\\ 0\\\ 2\end{array}\right].
(Rechequei mentalmente com a expressão do segundo plano e obtive o mesmo vetor, portanto a conta está consistente.)]

Resposta

(E) 3

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