Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(3)=2+p(6) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 5 \times 8 é um subespaço vetorial.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Só I e II são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • São dadas três afirmativas sobre conjuntos e subespaços vetoriais:
    I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(3)=2+p(6).
    II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo.
    III. O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{8} tais que A\vec{v}=0, onde A é uma matriz 5\times8.
  • O que o enunciado pede: identificar quais dentre I, II e III são verdadeiras e, portanto, escolher a alternativa correta dentre as dadas.

Passo 2

Relembrando o critério prático para um conjunto ser subespaço vetorial (a “receita” que vamos usar):
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
    1. W contém o vetor zero de V.
    2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \lambda é escalar então \lambda u\in W.
Explicando por que esses três são suficientes (didático rápido):
  • Se o zero está em W e W é fechado para combinações lineares (soma e multiplicação por escalar), qualquer combinação linear finita de elementos de W permanece em W, o que garante que W é um subespaço (as propriedades definidoras de um subespaço). Na prática, verificar o zero e as duas fechamentos é suficiente e simples.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
  • Definimos S=\{p \in P_2 \mid p(3)=2+p(6)\}, onde P_2 é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
  • Teste imediato: o polinômio zero p_0(x)=0 pertence a P_2. Verificamos se p_0 satisfaz a condição: p_0(3)=0 \quad\text{e}\quad p_0(6)=0,então a condição pedida seria 0 = 2 + 0, isto é 0=2, o que é falso.
  • Conclusão: o polinômio zero NÃO pertence a S. Como a presença do vetor zero é uma condição necessária para ser subespaço, S não é subespaço vetorial.
Comentário didático extra: a condição p(3)=2+p(6) é uma equação linear em termos dos coeficientes de p, mas é uma equação não-homogênea devido ao termo constante 2. Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas (lado direito zero) formam subespaços; equações com termo constante não-zero normalmente definem “afins” (cosets), que não contêm o zero e não são subespaços.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
  • Um “sistema linear não-homogêneo” tem a forma A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\vec{0} (ou, pelo menos, não explicitamente \vec{0}). O conjunto-solução é \{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{b}\}.
  • Fato padrão (importante e usado frequentemente): se existe alguma solução \vec{x}_p (uma solução particular), então o conjunto de todas as soluções é \{\vec{x}_p + \vec{u} \mid A\vec{u}=0\},ou seja, é um deslocamento (um conjunto afim) do núcleo (nullspace) de A.
  • Teste simples: o vetor zero \vec{0} satisfaz A\vec{0}=\vec{0}. Para que \vec{0} pertença ao conjunto-solução de A\vec{x}=\vec{b} precisamos de A\vec{0}=\vec{b}, isto é \vec{0}=\vec{b}. Se \vec{b}\neq\vec{0}, então \vec{0} não pertence ao conjunto-solução.
  • Exemplo concreto e muito simples para ver na prática: o sistema x=1 (um caso 1\times1) tem conjunto-solução \{1\}. Esse conjunto não contém 0 e não é fechado sob multiplicação por escalares (por exemplo 2\cdot 1 = 2 não está na solução). Logo não é subespaço.
  • Conclusão: em geral, o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo NÃO é um subespaço vetorial (é um conjunto afim). Portanto a afirmativa II é falsa, salvo no caso especial em que o sistema é homogêneo ( \vec{b}=\vec{0}), mas o enunciado fala de “não-homogêneo” — interpretamos isso como \vec{b}\neq\vec{0}.

Passo 5

Análise da afirmativa III.
  • Definimos N=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^8 \mid A\vec{v}=0\}. Esse é o núcleo (nullspace) da transformação linear associada à matriz A.
  • Vamos verificar as três propriedades do Passo 2:
    1. Zero: A\vec{0}=\vec{0}, logo \vec{0}\in N.
    2. Fechamento por soma: se A\vec{u}=0 e A\vec{v}=0, então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=0+0=0. Logo \vec{u}+\vec{v}\in N.
    3. Fechamento por escalares: se A\vec{u}=0 e \lambda é escalar, então A(\lambda\vec{u})=\lambda A\vec{u}=\lambda 0=0. Logo \lambda\vec{u}\in N.
  • Como as três propriedades são satisfeitas, N é de fato um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{8}.
  • Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I é falsa (não contém o polinômio zero; condição é não-homogênea).
  • II é falsa (conjunto-solução de sistema não-homogêneo é, em geral, um conjunto afim, não um subespaço).
  • III é verdadeira (nuclear de uma matriz é sempre subespaço).

Resposta

(G) Só III é verdadeira.

Exercícios relacionados