Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Só I e II são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
São dadas três afirmativas sobre conjuntos e subespaços vetoriais:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximotais que .
II. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo.
III. O conjunto de todostais que , onde é uma matriz . -
O que o enunciado pede: identificar quais dentre I, II e III são verdadeiras e, portanto, escolher a alternativa correta dentre as dadas.
Passo 2
Relembrando o critério prático para um conjunto ser subespaço vetorial (a “receita” que vamos usar):
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se: -
contém o vetor zero de . -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e é escalar então .
-
Explicando por que esses três são suficientes (didático rápido):
- Se o zero está em
e é fechado para combinações lineares (soma e multiplicação por escalar), qualquer combinação linear finita de elementos de permanece em , o que garante que é um subespaço (as propriedades definidoras de um subespaço). Na prática, verificar o zero e as duas fechamentos é suficiente e simples.
Passo 3
Análise da afirmativa I.
- Definimos
, onde é o espaço dos polinômios de grau no máximo . - Teste imediato: o polinômio zero
pertence a . Verificamos se satisfaz a condição: então a condição pedida seria , isto é , o que é falso. - Conclusão: o polinômio zero NÃO pertence a
. Como a presença do vetor zero é uma condição necessária para ser subespaço, não é subespaço vetorial.
Comentário didático extra: a condição
é uma equação linear em termos dos coeficientes de
, mas é uma equação não-homogênea devido ao termo constante
. Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas (lado direito zero) formam subespaços; equações com termo constante não-zero normalmente definem “afins” (cosets), que não contêm o zero e não são subespaços.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
- Um “sistema linear não-homogêneo” tem a forma
com (ou, pelo menos, não explicitamente ). O conjunto-solução é . - Fato padrão (importante e usado frequentemente): se existe alguma solução
(uma solução particular), então o conjunto de todas as soluções é ou seja, é um deslocamento (um conjunto afim) do núcleo (nullspace) de . - Teste simples: o vetor zero
satisfaz . Para que pertença ao conjunto-solução de precisamos de , isto é . Se , então não pertence ao conjunto-solução. - Exemplo concreto e muito simples para ver na prática: o sistema
(um caso ) tem conjunto-solução . Esse conjunto não contém e não é fechado sob multiplicação por escalares (por exemplo não está na solução). Logo não é subespaço. - Conclusão: em geral, o conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo NÃO é um subespaço vetorial (é um conjunto afim). Portanto a afirmativa II é falsa, salvo no caso especial em que o sistema é homogêneo (
), mas o enunciado fala de “não-homogêneo” — interpretamos isso como .
Passo 5
Análise da afirmativa III.
- Definimos
. Esse é o núcleo (nullspace) da transformação linear associada à matriz . - Vamos verificar as três propriedades do Passo 2:
- Zero:
, logo . - Fechamento por soma: se
e , então . Logo . - Fechamento por escalares: se
e é escalar, então . Logo .
- Zero:
- Como as três propriedades são satisfeitas,
é de fato um subespaço vetorial de . - Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- I é falsa (não contém o polinômio zero; condição é não-homogênea).
- II é falsa (conjunto-solução de sistema não-homogêneo é, em geral, um conjunto afim, não um subespaço).
- III é verdadeira (nuclear de uma matriz é sempre subespaço).
Resposta
(G) Só III é verdadeira.