A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 12
(C) 2
(D) 4
(E) 9
(F) 11
(G) 13
(H) 10
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do conjunto S formado por todos os vetores \left(x_{1},\ldots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13} que satisfazem as quatro igualdades dadas. Vou listar claramente as equações (peguei-as do enunciado):
A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto S (isto é, quantos graus de liberdade os vetores de S têm)?]
Passo 2
Entender o tipo de conjunto: cada igualdade é uma restrição linear homogênea nas coordenadas x_i. Portanto S é o espaço de soluções de um sistema homogêneo em \mathbb{R}^{13}. Regra prática que vamos usar: se S for definido por r equações lineares independentes em \mathbb{R}^{13}, então
\dim(S)=13-r.
Aqui o ponto importante é contar quantas das quatro equações são linearmente independentes (ou seja, quantas realmente reduzem os graus de liberdade).
Passo 3
Escrever as equações na forma linear padrão (todas são homogêneas):
Como as duas primeiras igualdades anulam x_{13}-x_{9} e x_{12}-x_{10}, a quarta é satisfeita automaticamente sempre que as duas primeiras valem. Logo a quarta equação é dependente das duas primeiras — ela não impõe nova restrição. A terceira equação x_{7}-x_{1}=0 não envolve as coordenadas (x_9,x_{10},x_{12},x_{13}) e não pode ser obtida pelas outras; portanto ela é independente das duas primeiras.
Concluímos que há exatamente três equações lineares independentes: