Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{12} & =x_{10} \\\ x_{13} & =x_{9} \\\ x_{7} & =x_{1} \\\ x_{13}+x_{12} & =x_{9}+x_{10} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 12
(C) 2
(D) 4
(E) 9
(F) 11
(G) 13
(H) 10

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do conjunto S formado por todos os vetores \left(x_{1},\ldots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13} que satisfazem as quatro igualdades dadas. Vou listar claramente as equações (peguei-as do enunciado):
\left\{\begin{aligned} x_{12} &= x_{10},\\[4pt] x_{13} &= x_{9},\\[4pt] x_{7} &= x_{1},\\[4pt] x_{13}+x_{12} &= x_{9}+x_{10}. \end{aligned}\right.
A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto S (isto é, quantos graus de liberdade os vetores de S têm)?]

Passo 2

Entender o tipo de conjunto: cada igualdade é uma restrição linear homogênea nas coordenadas x_i. Portanto S é o espaço de soluções de um sistema homogêneo em \mathbb{R}^{13}. Regra prática que vamos usar: se S for definido por r equações lineares independentes em \mathbb{R}^{13}, então
\dim(S)=13-r.
Aqui o ponto importante é contar quantas das quatro equações são linearmente independentes (ou seja, quantas realmente reduzem os graus de liberdade).

Passo 3

Escrever as equações na forma linear padrão (todas são homogêneas):
\begin{aligned} x_{12}-x_{10} &= 0,\\[4pt] x_{13}-x_{9} &= 0,\\[4pt] x_{7}-x_{1} &= 0,\\[4pt] x_{13}+x_{12}-x_{9}-x_{10} &= 0. \end{aligned}
Verificar dependência entre elas: a quarta equação é exatamente a soma das duas primeiras? Mais precisamente,
(x_{13}-x_{9}) + (x_{12}-x_{10}) = x_{13}+x_{12}-x_{9}-x_{10}.
Como as duas primeiras igualdades anulam x_{13}-x_{9} e x_{12}-x_{10}, a quarta é satisfeita automaticamente sempre que as duas primeiras valem. Logo a quarta equação é dependente das duas primeiras — ela não impõe nova restrição. A terceira equação x_{7}-x_{1}=0 não envolve as coordenadas (x_9,x_{10},x_{12},x_{13}) e não pode ser obtida pelas outras; portanto ela é independente das duas primeiras.
Concluímos que há exatamente três equações lineares independentes:
x_{12}-x_{10}=0,\qquad x_{13}-x_{9}=0,\qquad x_{7}-x_{1}=0.]

Passo 4

Aplicar a fórmula de dimensão: o espaço total tem dimensão 13 e há r=3 restrições independentes, então
\dim(S)=13-3=10.
Para ficar mais concreto: uma parametrização natural escolhe como variáveis livres, por exemplo,
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{8},x_{9},x_{10},x_{11},
e define as demais por
x_{7}=x_{1},\quad x_{12}=x_{10},\quad x_{13}=x_{9}.
Isso mostra explicitamente que há 10 graus de liberdade.

Resposta

(H) 10

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