Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(2)=5+p(9) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 6 \times 8 é um subespaço vetorial.
III. O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos e pede que eu determine quais deles são subespaços vetoriais:
I. Conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(2)=5+p(9).
II. Conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{8} tais que todas as entradas de A\vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 6\times8.
III. O conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} (conjunto com um único vetor).
O que é pedido: decidir, para cada uma das afirmativas I, II, III, se o conjunto descrito é um subespaço vetorial ou não, e então escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Lembrete prático e didático sobre o que é subespaço vetorial e como testar:
  • Seja V um espaço vetorial (por exemplo \mathbb{R}^n ou o espaço dos polinômios de grau \le 2). Um subconjunto S\subset V é subespaço vetorial se, e somente se:
    1. S não é vazio (equivalente a conter o vetor zero).
    2. S é fechado por soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
    3. S é fechado por multiplicação escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
  • Uma maneira rápida e útil na prova: verificar se o vetor zero pertence a S. Se não pertence, S não é subespaço (porque 0=\;0\cdot v precisa estar em S para qualquer v\in S). Se o zero pertence, ainda é preciso checar as duas fechamentos; mas muitas vezes o teste do zero já elimina candidatos rapidamente.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
  • Espaço ambiente: seja P_2 o espaço dos polinômios com grau no máximo 2.
  • Defina S=\{p\in P_2 \mid p(2)=5+p(9)\}.
  • Teste do vetor zero: o polinômio zero p(x)\equiv 0 satisfaz p(2)=0 e p(9)=0. A condição exigiria 0 = 5 + 0, ou seja 0=5, o que é falso. Logo p\equiv 0\notin S.
  • Conclusão: S não contém o vetor zero, portanto não pode ser subespaço vetorial.
  • Observação didática: a condição p(2)=5+p(9) é uma condição afim (não homogênea) do tipo L(p)=5 onde L é o funcional linear L(p)=p(2)-p(9). Conjuntos definidos por condições L(p)=c com c\neq 0 normalmente não são subespaços; só quando c=0 obtém-se um núcleo de operador linear, que é subespaço.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
  • Espaço ambiente: \mathbb{R}^8. Defina S=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^8 \mid A\vec{v}\\ \text{tem todas as entradas estritamente positivas}\}.Note que A\vec{v}\in\mathbb{R}^6.
  • Teste do vetor zero: A\vec{0}=\vec{0} (vetor nulo em \mathbb{R}^6), e as entradas de \vec{0} são zeros, não positivas estritamente. Logo \vec{0}\notin S. Portanto S não é subespaço.
  • Outro contraexemplo simples de fechamento por escala: suponha que exista \vec{v} com A\vec{v}=(1,1,1,1,1,1)^\top (é perfeitamente possível para alguma \vec{v}); então \vec{v}\in S, mas -\vec{v}\notin S porque A(-\vec{v})=-A\vec{v}=(-1,-1,\dots,-1)^\top tem entradas negativas. Assim a multiplicação por escalar -1 não preserva S.
  • Conclusão: S não é subespaço vetorial.

Passo 5

Análise da afirmativa III.
  • O conjunto dado é T=\{(1,1,1,1)\}, um singleton em \mathbb{R}^4.
  • Teste do vetor zero: (0,0,0,0)\notin T porque o único elemento de T é (1,1,1,1). Logo T não contém o vetor zero e não é subespaço.
  • Teste por escala também falha: se (1,1,1,1)\in T, então 0\cdot(1,1,1,1)=(0,0,0,0) deveria estar em T para ser subespaço, mas não está.
  • Conclusão: T não é subespaço vetorial.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I é falsa (não contém o polinômio zero).
  • II é falsa (não contém o vetor zero; não é fechado por escala).
  • III é falsa (não contém o vetor zero).
Portanto todas as afirmativas I, II e III são falsas.

Resposta

(G)

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