Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Só II e III são verdadeiras.
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
II. O conjunto de todos
III. O conjunto
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três conjuntos e pede que eu determine quais deles são subespaços vetoriais:
I. Conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que .
II. Conjunto de todos tais que todas as entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
.
III. O conjunto (conjunto com um único vetor).
I. Conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
II. Conjunto de todos
III. O conjunto
O que é pedido: decidir, para cada uma das afirmativas I, II, III, se o conjunto descrito é um subespaço vetorial ou não, e então escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Lembrete prático e didático sobre o que é subespaço vetorial e como testar:
- Seja
um espaço vetorial (por exemplo ou o espaço dos polinômios de grau ). Um subconjunto é subespaço vetorial se, e somente se: -
não é vazio (equivalente a conter o vetor zero). -
é fechado por soma: se e então . -
é fechado por multiplicação escalar: se e então .
-
- Uma maneira rápida e útil na prova: verificar se o vetor zero pertence a
. Se não pertence, não é subespaço (porque precisa estar em para qualquer ). Se o zero pertence, ainda é preciso checar as duas fechamentos; mas muitas vezes o teste do zero já elimina candidatos rapidamente.
Passo 3
Análise da afirmativa I.
- Espaço ambiente: seja
o espaço dos polinômios com grau no máximo . - Defina
. - Teste do vetor zero: o polinômio zero
satisfaz e . A condição exigiria , ou seja , o que é falso. Logo . - Conclusão:
não contém o vetor zero, portanto não pode ser subespaço vetorial. - Observação didática: a condição
é uma condição afim (não homogênea) do tipo onde é o funcional linear . Conjuntos definidos por condições com normalmente não são subespaços; só quando obtém-se um núcleo de operador linear, que é subespaço.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
- Espaço ambiente:
. Defina Note que . - Teste do vetor zero:
(vetor nulo em ), e as entradas de são zeros, não positivas estritamente. Logo . Portanto não é subespaço. - Outro contraexemplo simples de fechamento por escala: suponha que exista
com (é perfeitamente possível para alguma ); então , mas porque tem entradas negativas. Assim a multiplicação por escalar não preserva . - Conclusão:
não é subespaço vetorial.
Passo 5
Análise da afirmativa III.
- O conjunto dado é
, um singleton em . - Teste do vetor zero:
porque o único elemento de é . Logo não contém o vetor zero e não é subespaço. - Teste por escala também falha: se
, então deveria estar em para ser subespaço, mas não está. - Conclusão:
não é subespaço vetorial.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- I é falsa (não contém o polinômio zero).
- II é falsa (não contém o vetor zero; não é fechado por escala).
- III é falsa (não contém o vetor zero).
Portanto todas as afirmativas I, II e III são falsas.
Resposta
(G)