Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LD, então
tem infinitas solução.
II. Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
III. Se
é LI, então
tem solução única.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e duas matrizes aumentadas que representam sistemas lineares:
-
. -
.
As afirmativas a testar são:
I. Se é LD, então
tem infinitas solução.
II. Se é LI, então
pode ter infinitas soluções.
III. Se é LI, então
tem solução única.
I. Se
II. Se
III. Se
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Primeiro, esclareço o que cada sistema representa (isso é importante para não confundir):
- O sistema
(matriz ) é o sistema homogêneo cuja equação vetorial é
ou seja, procura-se os escalares
que tornam essa combinação linear nula.
- O sistema
(matriz ) é o sistema não-homogêneo cuja equação vetorial é
ou seja, pergunta se
pertence ao subespaço gerado por
e
e, em caso afirmativo, quais são os coeficientes
.
Também recapitulo as definições úteis:
-
é linearmente independente (LI) se a única solução do homogêneo
é
.
-
é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não-trivial (nem todos os coeficientes zero) que dá .
Passo 3
Analiso a afirmativa I: “Se
é LD, então
tem infinitas solução.”
Raciocínio geral:
ser LD significa que existem escalares (não todos zeros)
tais que
Se
, então podemos escrever
ou seja,
está no span
e
tem ao menos uma solução (possivelmente única ou infinita, depende de
).
Se, porém, (a dependência envolve só
e
), não se obtém informação sobre
: pode ser que
esteja fora do span
, e então
não tem solução alguma.
Se, porém,
Portanto a dependência linear de
NÃO garante que
tenha solução, muito menos que tenha infinitas soluções. Dou exemplos concretos (em
podemos pôr zeros nos componentes restantes):
Exemplo que contradiz I (nenhuma solução): tome
Aqui
é LD porque
. O sistema
pede
, isto é
, impossível. Logo
não tem solução. Assim I é falsa.
Também mostro que mesmo quando
tem solução, não necessariamente há infinitas soluções: se
são LI e
está em seu span, então a solução é única. Exemplo:
. Então
tem solução única
. Outro exemplo em que há infinitas soluções: se
e
, então qualquer par
com
resolve, infinitas soluções. Então LD não implica um comportamento único para
. Conclusão: I é falsa.
Passo 4
Analiso a afirmativa II: “Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.”
Se
é LI, por definição a única combinação linear que dá
é a trivial. Portanto o sistema homogêneo
,
tem apenas a solução
. Isso significa que
tem exatamente uma solução (a trivial), não infinitas. Logo a afirmação “pode ter infinitas soluções” é falsa: na verdade, se
é LI,
tem apenas a solução trivial. Portanto II é falsa.
Passo 5
Analiso a afirmativa III: “Se
é LI, então
tem solução única.”
Se
é LI então, em particular,
NÃO pertence ao span
. Porque se
fosse combinação de
e
, haveria uma relação linear não-trivial entre os três vetores, contradizendo a independência. Assim, quando
é LI, a equação
não admite solução nenhuma (é inconsistente). Portanto não há solução única: há nenhuma solução. Um exemplo simples em
que ilustra isso é
são LI e não existe
tais que
. Logo III é falsa.
Passo 6
Juntando as conclusões:
- I é falsa (mostrei contraexemplo e argumento).
- II é falsa (LI implica apenas solução trivial para
). - III é falsa (LI implica que
é insatisfatível, não que tenha solução única).
Portanto todas as afirmativas I, II e III são falsas.
Resposta
(B)