Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] \text {. }
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
II. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
III. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{7} e duas matrizes aumentadas que representam sistemas lineares:
  • S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right].
  • S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right].
As afirmativas a testar são:
I. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
II. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
III. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Primeiro, esclareço o que cada sistema representa (isso é importante para não confundir):
  • O sistema S_{1} (matriz [\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\mid\vec{0}]) é o sistema homogêneo cuja equação vetorial é
x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0},
ou seja, procura-se os escalares (x_{1},x_{2},x_{3}) que tornam essa combinação linear nula.
  • O sistema S_{2} (matriz [\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\mid\vec{v}_{3}]) é o sistema não-homogêneo cuja equação vetorial é
a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3},
ou seja, pergunta se \vec{v}_{3} pertence ao subespaço gerado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} e, em caso afirmativo, quais são os coeficientes (a,b).
Também recapitulo as definições úteis:
  • \beta é linearmente independente (LI) se a única solução do homogêneo
x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}
é x_{1}=x_{2}=x_{3}=0.
  • \beta é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não-trivial (nem todos os coeficientes zero) que dá \vec{0}.

Passo 3

Analiso a afirmativa I: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
Raciocínio geral: \beta ser LD significa que existem escalares (não todos zeros) c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}.
Se c_{3}\neq 0, então podemos escrever
\vec{v}_{3}=-\frac{c_{1}}{c_{3}}\vec{v}_{1}-\frac{c_{2}}{c_{3}}\vec{v}_{2},
ou seja, \vec{v}_{3} está no span \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} e S_{2} tem ao menos uma solução (possivelmente única ou infinita, depende de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}).
Se, porém, c_{3}=0 (a dependência envolve só \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}), não se obtém informação sobre \vec{v}_{3}: pode ser que \vec{v}_{3} esteja fora do span \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, e então S_{2} não tem solução alguma.
Portanto a dependência linear de \beta NÃO garante que S_{2} tenha solução, muito menos que tenha infinitas soluções. Dou exemplos concretos (em \mathbb{R}^{7} podemos pôr zeros nos componentes restantes):
Exemplo que contradiz I (nenhuma solução): tome
\vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0,0),\quad \vec{v}_{2}=(1,0,0,0,0,0,0),\quad \vec{v}_{3}=(0,1,0,0,0,0,0).
Aqui \beta é LD porque \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=\vec{0}. O sistema S_{2} pede a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}, isto é (a+b)\,(1,0,\dots,0)=(0,1,0,\dots,0), impossível. Logo S_{2} não tem solução. Assim I é falsa.
Também mostro que mesmo quando S_{2} tem solução, não necessariamente há infinitas soluções: se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI e \vec{v}_{3} está em seu span, então a solução é única. Exemplo: \vec{v}_{1}=e_{1},\\ \vec{v}_{2}=e_{2},\\ \vec{v}_{3}=2e_{1}. Então a e_{1}+b e_{2}=2e_{1} tem solução única a=2,b=0. Outro exemplo em que há infinitas soluções: se \vec{v}_{1}=\vec{v}_{2}=e_{1} e \vec{v}_{3}=e_{1}, então qualquer par (a,b) com a+b=1 resolve, infinitas soluções. Então LD não implica um comportamento único para S_{2}. Conclusão: I é falsa.

Passo 4

Analiso a afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.”
Se \beta é LI, por definição a única combinação linear que dá \vec{0} é a trivial. Portanto o sistema homogêneo S_{1},
x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0},
tem apenas a solução x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Isso significa que S_{1} tem exatamente uma solução (a trivial), não infinitas. Logo a afirmação “pode ter infinitas soluções” é falsa: na verdade, se \beta é LI, S_{1} tem apenas a solução trivial. Portanto II é falsa.

Passo 5

Analiso a afirmativa III: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
Se \beta é LI então, em particular, \vec{v}_{3} NÃO pertence ao span \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Porque se \vec{v}_{3} fosse combinação de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}, haveria uma relação linear não-trivial entre os três vetores, contradizendo a independência. Assim, quando \beta é LI, a equação
a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}
não admite solução nenhuma (é inconsistente). Portanto não há solução única: há nenhuma solução. Um exemplo simples em \mathbb{R}^{7} que ilustra isso é
\vec{v}_{1}=e_{1},\quad \vec{v}_{2}=e_{2},\quad \vec{v}_{3}=e_{3},
são LI e não existe a,b tais que a e_{1}+b e_{2}=e_{3}. Logo III é falsa.

Passo 6

Juntando as conclusões:
  • I é falsa (mostrei contraexemplo e argumento).
  • II é falsa (LI implica apenas solução trivial para S_{1}).
  • III é falsa (LI implica que S_{2} é insatisfatível, não que tenha solução única).
Portanto todas as afirmativas I, II e III são falsas.

Resposta

(B)

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