Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -5 \\\\ -8 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 6 \\\\ 4 \\\\ -6\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço gerado (span) pelos vetores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\;v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix},\;v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ -8\\\ 7\end{pmatrix},\;v_{4}=\begin{pmatrix}-2\\\ 6\\\ 4\\\ -6\end{pmatrix}
Esse conteúdo envolve dependência linear e posto (rank) de uma matriz. A dimensão do span é igual ao número máximo de vetores linearmente independentes, isto é, ao posto da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A\in\mathbb{R}^{4\times4} cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\\\ -2 & -3 & -5 & 6\\\\ 1 & -2 & -8 & 4\\\\ 1 & 3 & 7 & -6 \end{pmatrix}.
Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o posto:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\\\ -2 & -3 & -5 & 6\\\\ 1 & -2 & -8 & 4\\\\ 1 & 3 & 7 & -6 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\!+\!2R_{1},\;R_{3}-R_{1},\;R_{4}-R_{1}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\\\ 0 & -1 & -3 & 2\\\\ 0 & -3 & -9 & 6\\\\ 0 & 2 & 6 & -4 \end{pmatrix}.
Em seguida, multiplica-se R_{2} por -1 e elimina-se nas outras linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\\\ 0 & -1 & -3 & 2\\\\ 0 & -3 & -9 & 6\\\\ 0 & 2 & 6 & -4 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\gets -R_{2}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & -3 & -9 & 6\\\\ 0 & 2 & 6 & -4 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{3}+3R_{2},\;R_{4}-2R_{2}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na forma escalonada há exatamente duas linhas não nulas, portanto o posto de A é
\operatorname{rank}(A)=2.
Logo, existem apenas 2 vetores linearmente independentes no conjunto original, e a dimensão do span é 2.

Resposta

(C) 2

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