Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes
onde
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
(I) Não sei
I - O conjunto das matrizes
II - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
(I) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta três conjuntos e pede para identificar quais deles são subespaços vetoriais. Para ser subespaço vetorial de um espaço
, um subconjunto
deve satisfazer três propriedades:
-
. - Fechado sob adição: se
, então . - Fechado sob multiplicação escalar: se
e , então .
Passo 2
Analisando a afirmativa I:
O conjunto é
O conjunto é
O vetor zero em
tem
, logo
. Sem o elemento zero, falha a condição 1, então esse conjunto não é subespaço.
Passo 3
Analisando a afirmativa II:
O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um conjunto afim, pois se é solução e
é solução do homogêneo, então todas as soluções têm a forma
. Em particular, o vetor zero geralmente não satisfaz o sistema não-homogêneo. Logo, não contém o zero nem é fechado sob soma arbitrária de soluções, e não é subespaço.
O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um conjunto afim, pois se
Passo 4
Analisando a afirmativa III:
O conjunto é
O conjunto é
Verificamos:
- O polinômio zero satisfaz
. - Se
e satisfazem e , então
- Se
, então
Portanto, é fechado em adição e multiplicação escalar, e contém o zero, logo é subespaço.
Resposta
(B) Apenas III é verdadeira.