Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes A3 times 3 onde a22+a33=8(ai j é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(2)=7 p(5) é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado apresenta três conjuntos e pede para identificar quais deles são subespaços vetoriais. Para ser subespaço vetorial de um espaço V, um subconjunto Wsubseteq V deve satisfazer três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Fechado sob adição: se u,vin W, então u+vin W.
  3. Fechado sob multiplicação escalar: se uin W e cinR, então c,uin W.

Passo 2

Analisando a afirmativa I:
O conjunto é
Ain M3times3mid a22+a33=8
O vetor zero em M3times3 tem a22+a33=0neq8, logo 0notin W. Sem o elemento zero, falha a condição 1, então esse conjunto não é subespaço.

Passo 3

Analisando a afirmativa II:
O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um conjunto afim, pois se x0 é solução e v é solução do homogêneo, então todas as soluções têm a forma x0+v. Em particular, o vetor zero geralmente não satisfaz o sistema não-homogêneo. Logo, não contém o zero nem é fechado sob soma arbitrária de soluções, e não é subespaço.

Passo 4

Analisando a afirmativa III:
O conjunto é
pin P2mid p(2)=7,p(5)
Verificamos:
  1. O polinômio zero satisfaz 0=7cdot0.
  2. Se p e q satisfazem p(2)=7p(5) e q(2)=7q(5), então
(p+q)(2)=p(2)+q(2)=7p(5)+7q(5)=7(p+q)(5)
  1. Se cinR, então
(c,p)(2)=c,p(2)=ccdot7p(5)=7(c,p)(5)
Portanto, é fechado em adição e multiplicação escalar, e contém o zero, logo é subespaço.

Resposta

(B) Apenas III é verdadeira.

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