Q12: Seja S o conjunto dos(x1, ldots, x13) in R^13 tais que:
x12 & =x6 x1 & =x8 x9 & =x7 x1+x12 & =x8+x6
A dimensão de S é:
(A) 13
(B) 9
(C) 10
(D) 3
(E) 11
(F) 2
(G) 12
(H) 4
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado define
S=(x1,dots,x13)inR^13 sujeito às restrições lineares
x12=x6, x1=x8, x9=x7, x1+x12=x8+x6
Aqui o conteúdo é encontrar a dimensão de um subespaço definido por equações lineares homogêneas. Vamos determinar quantas destas equações são linearmente independentes e usar
dim S = 13 - rank(sistema)

Passo 2

Escrevendo cada restrição como equação homogênea:
x12-x6&=0, x1-x8&=0, x9-x7&=0, x1+x12-x8-x6&=0
Temos um sistema de quatro equações lineares em 13 variáveis.

Passo 3

Note que a quarta equação
x1+x12-x8-x6=0
é combinação das duas primeiras: se x1=x8 e x12=x6, então automaticamente
x1+x12-x8-x6=0
Logo essa quarta é redundante e não aumenta o posto do sistema.

Passo 4

Concluímos que existem apenas três equações linearmente independentes, ou seja
rank(sistema)=3
Portanto
dim S = 13 - 3 = 10

Resposta

(C) 10

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