Q8: Considere beta=v1, v2, v3 subset R^6 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
II - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
III - Se beta é LI, então S1 pode ter infinitas soluções.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá um conjunto beta=vec v1,vec v2,vec v3subset R^6 e dois sistemas lineares:
S1:l[vec v1;vec v2;vec v3midvec 0r], S2:l[vec v1;vec v2midvec v3r]
O conteúdo aqui é dependência linear, posto (rank) de matrizes, e número de soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos.

Passo 2

Analisando S1, que é o sistema homogêneo
a,vec v1 + b,vec v2 + c,vec v3 = vec 0,
sabemos que:
  • Se beta for LI (linearmente independente), a única solução é (a,b,c)=(0,0,0) (solução trivial única).
  • Se beta for LD (linearmente dependente), existe solução não trivial e, portanto, infinitas soluções.

Passo 3

Analisando , que é
temos que:
  • Há solução se, e somente se, .
  • Se e forem LI e pertencer a esse span, a solução é única.
  • Se for LI (logo ), então não há solução.

Passo 4

Agora avaliamos as afirmativas:
I – “Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.”
Se beta é LD mas a dependência envolve v3 (i.e.\ v3 = a v1 + b v2) e v1, v2 forem LI, então S2 tem exatamente essa solução única. Logo I é verdadeira.
II – “Se beta é LI, então S2 não tem solução.”
Se beta é LI, v3 não está no span de v1, v2, então S2 é inconsistente (sem solução). Logo II é verdadeira.
III – “Se beta é LI, então S1 pode ter infinitas soluções.”
Mas para beta LI, o homogêneo S1 só tem a solução trivial. Logo III é falsa.

Resposta

Apenas I e II são verdadeiras, isto é, alternativa F.

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