Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
pode ter solução única.
II - Se
é LI, então
não tem solução.
III - Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
(I) Não sei
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
(I) Não sei
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
e dois sistemas lineares:
O conteúdo aqui é dependência linear, posto (rank) de matrizes, e número de soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos.
Passo 2
Analisando
, que é o sistema homogêneo
sabemos que:
- Se
for LI (linearmente independente), a única solução é (solução trivial única). - Se
for LD (linearmente dependente), existe solução não trivial e, portanto, infinitas soluções.
Passo 3
Analisando
, que é
temos que:
- Há solução se, e somente se, .
- Se
e forem LI e pertencer a esse span, a solução é única. - Se
for LI (logo ), então não há solução.
Passo 4
Agora avaliamos as afirmativas:
I – “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
Se é LD mas a dependência envolve
(i.e.\
) e
forem LI, então
tem exatamente essa solução única. Logo I é verdadeira.
Se
II – “Se
é LI, então
não tem solução.”
Se é LI,
não está no span de
, então
é inconsistente (sem solução). Logo II é verdadeira.
Se
III – “Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.”
Mas para LI, o homogêneo
só tem a solução trivial. Logo III é falsa.
Mas para
Resposta
Apenas I e II são verdadeiras, isto é, alternativa F.