Q13: Determine a dimensão de \operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 4 \\\\ -4 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 5 \\\\ 2 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 2 \\\\ -6 \\\\ -6\end{array}\right]\right\}. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Passo 1O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores em \mathbb{R}^4. Para isso basta calcular o posto (rank) da matriz A cujas colunas são esses vetores: a dimensão do span é exatamente \mathrm{rank}(A). Passo 2Formamos a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\[6pt] 1 & 4 & 5 & 2 \\[6pt] -3 & -4 & 2 & -6 \\[6pt] -3 & -2 & 5 & -6 \end{pmatrix} e aplicamos eliminação de Gauss na primeira coluna usando o pivô a_{11}=1: R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 3\,R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 3\,R_1, ficando \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\[3pt] 0 & 3 & 6 & 0 \\[3pt] 0 & -1 & -1 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.] Passo 3Agora usamos o pivô a_{22}=3 na segunda linha para zerar abaixo e simplificar acima: R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac13R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac13R_2,\quad R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac13R_2, obtendo a forma \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 2 \\[3pt] 0 & 3 & 6 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, totalizando 3 pivôs.] Resposta(D) 3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQ12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{16}\right) \in \mathbb{R}^{16} tais que: \left\{\begin{aligned} x_{7} & =x_{2} \\\ x_{11} & =x_{13} \\\ x_{11}+x_{7} & =x_{13}+x_{2} \end{aligned}\right. A dimensão de S é: (A) 15 (B) 2 (C) 4 (D) 12 (E) 16 (F) 3 (G) 13 (H) 14 Q11: Considere as afirmativas abaixo: I - O conjunto de todos os polinómios de grau máximo 2 tais que p(8)=6 p(2) é um subespaço vetorial. II - O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{4} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 7 \times 4 é um subespaço vetorial. (A) Apenas II e III são verdadeiras. (B) Apenas I é verdadeira. (C) Apenas I e III são verdadeiras. (D) Todas são falsas. (E) Apenas II é verdadeira. (F) Todas são verdadeiras. (G) Apenas III é verdadeira. (H) Apenas I e II são verdadeiras. Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo: I - Nem todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V. II - Todo subconjunto LI de V possui no máximo 4 vetores. III - Todo conjunto gerador de V possui no mínimo 4 vetores. (A) Apenas II e III são verdadeiras. (B) Apenas III é verdadeira. (C) Todas são falsas. (D) Todas são verdadeiras. (E) Apenas I e II são verdadeiras. (F) Apenas II é verdadeira. (G) Apenas I e III são verdadeiras. (H) Apenas I é verdadeira. Q15: Seja p(x)=-14-39 x+2 x^{2} e \beta=\left\{3+6 x+3 x^{2}, \quad 2+6 x-2 x^{2}, \quad 1+3 x+x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinómios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c. (A) -4 (B) 1 (C) -3 (D) 3 (E) -1 (F) 2 (G) 4 (H) -2