Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 4 \\\\ -4 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 5 \\\\ 2 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 2 \\\\ -6 \\\\ -6\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores em \mathbb{R}^4. Para isso basta calcular o posto (rank) da matriz A cujas colunas são esses vetores: a dimensão do span é exatamente \mathrm{rank}(A).

Passo 2

Formamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\[6pt] 1 & 4 & 5 & 2 \\[6pt] -3 & -4 & 2 & -6 \\[6pt] -3 & -2 & 5 & -6 \end{pmatrix}
e aplicamos eliminação de Gauss na primeira coluna usando o pivô a_{11}=1:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 3\,R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 3\,R_1,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\[3pt] 0 & 3 & 6 & 0 \\[3pt] 0 & -1 & -1 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora usamos o pivô a_{22}=3 na segunda linha para zerar abaixo e simplificar acima:
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac13R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac13R_2,\quad R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac13R_2,
obtendo a forma
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 2 \\[3pt] 0 & 3 & 6 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, totalizando 3 pivôs.]

Resposta

(D) 3

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