Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui 65 autovalores reais distintos, então
é diagonalizável.
II - Seja
uma matriz
com 15 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 15, então
é diagonalizável.
I - Se
II - Seja
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos a veracidade das afirmativas I e II. Vou listar explicitamente o que cada afirmativa dá e o que se quer concluir:
-
Afirmação I: Diz que
possui autovalores reais distintos. Pergunta-se se disso segue que é diagonalizável. -
Afirmação II: Diz que
é uma matriz que tem autovalores reais distintos e diferentes de zero, e que . Pergunta-se se disso segue que é diagonalizável.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usarei depois:
- Para I: dimensão do espaço é
; número de autovalores distintos é . - Para II: dimensão é
; existem autovalores distintos não nulos; .
Passo 2
Vou lembrar conceitos e fatos que precisamos, explicando devagar:
-
Definição (autovalor e autovetor): Dizer que
é autovalor de uma transformação linear significa que existe tal que . Esse é um autovetor associado a . -
Diagonalizável: Uma transformação linear (ou matriz) em um espaço de dimensão
é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores. Isso é equivalente a escrever a matriz numa base adequada como uma matriz diagonal. -
Multiplicidades:
- A multiplicidade algébrica de um autovalor
é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico. - A multiplicidade geométrica de
é a dimensão do espaço próprio , ou seja, o número máximo de autovetores linearmente independentes associados a .
- A multiplicidade algébrica de um autovalor
-
Fato útil: Sempre valeE a transformação é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica (ou equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores é
). -
Teorema sobre autovalores distintos: Se uma transformação linear em um espaço de dimensão
tem autovalores distintos (no corpo considerado, aqui ), então ela é diagonalizável. Motivo rápido: autovetores correspondentes a autovalores diferentes são linearmente independentes; com deles você tem uma base.
Vou usar também o Teorema do posto-nulidade (rank-nullity):
onde
.
Passo 3
Prova detalhada (e didática) de por que autovetores de autovalores distintos são linearmente independentes — este é o núcleo para a Afirmação I:
Suponha que
são autovetores associados a autovalores distintos
, com
. Quero mostrar que
são linearmente independentes.
Suponha, por contradição, que exista uma combinação linear não-trivial
com alguns
. Aplicando
à soma obtemos
Agora subtraímos
vezes a combinação inicial (que é zero), ou seja, fazemos a operação (segunda equação) −
·(primeira equação). O resultado é
Como os
são todos distintos,
para
. Então obtemos uma combinação linear entre
vetores igual a zero. Repetindo o argumento (por indução), chegamos à contradição de que um único autovetor é combinação linear trivial, forçando todos os coeficientes
a serem zero. Logo os vetores são linearmente independentes.
Conclusão: se existem
autovalores distintos em um espaço de dimensão
, temos
autovetores linearmente independentes e, portanto, uma base de autovetores — o operador é diagonalizável.
Passo 4
Aplicando isso à Afirmação I:
Temos uma transformação
com
autovalores reais distintos. Pelo argumento do passo anterior, os autovetores associados são
e linearmente independentes. Como a dimensão do espaço é
, esses
autovetores formam uma base de
. Logo
é diagonalizável. Portanto a Afirmação I é verdadeira.
(Uma observação de amigo: esse é um resultado clássico — autovalores distintos dão diagonalização — guarda ele que aparece sempre nas provas.)
Passo 5
Agora trabalho a Afirmação II com cuidado, usando o posto-nulidade e as relações entre multiplicidades.
Dados:
-
é . - Há
autovalores reais distintos e não nulos. -
.
Pelo Teorema do posto-nulidade,
Como
, temos
A nulidade é
, isto é, a multiplicidade geométrica do autovalor
é
. Em outras palavras,
é autovalor de
e existem
autovetores linearmente independentes associados a
.
Passo 6
Agora raciocinemos sobre as multiplicidades algébricas e geométricas:
-
Há
autovalores distintos não nulos. Cada autovalor distinto não-nulo deve ter multiplicidade algébrica pelo menos . Assim, a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores não nulos é no mínimo . -
A soma de todas as multiplicidades algébricas (dos autovalores não nulos mais do autovalor zero) é igual a
(grau do polinômio característico).
Portanto, a multiplicidade algébrica do autovalor
é
Mas já vimos que a multiplicidade geométrica de
é
, e sempre
Como
, isso força
. Juntando com a desigualdade anterior obtemos
Assim a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores não nulos é exatamente
. Como há exatamente
autovalores distintos não nulos, a única maneira de somarem
é que cada um desses autovalores não nulos tenha multiplicidade algébrica exatamente
.
Passo 7
Agora relaciono multiplicidades algébricas com geométricas para concluir diagonalização:
-
Para cada autovalor não nulo, a multiplicidade algébrica é
. Isso implica que sua multiplicidade geométrica também é (porque sempre, e mult.alg., logo tem que ser igual a ). -
Para o autovalor
, já vimos que a multiplicidade geométrica é e a multiplicidade algébrica também é .
Portanto, para todo autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica. A soma das multiplicidades geométricas (ou algébricas) é
. Logo existe uma base de autovetores e
é diagonalizável.
Passo 8
Conclusão final para as duas afirmativas:
- Afirmação I: verdadeira.
- Afirmação II: verdadeira.
Vai dar tudo certo na prova — respira, você acabou de ver dois argumentos clássicos e gostosos de aplicar.
Resposta
I: Verdadeira.
II: Verdadeira.
II: Verdadeira.