Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto das matrizes
onde
(
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos
II. O conjunto das matrizes
III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
Passo 1
O enunciado pede que se determine, entre as alternativas dadas, quais afirmativas são verdadeiras, sabendo que as afirmativas são:
I. O conjunto de todos os
tais que todas as entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
, é um subespaço vetorial.
II. O conjunto das matrizes
cujas entradas satisfazem
(onde
é a entrada na linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
tais que
é um subespaço vetorial.
Informações relevantes que o enunciado deu:
- Em I,
é uma matriz de tamanho e a condição é “todas as entradas de são positivas” (estritamente maiores que zero). - Em II, consideram-se todas as matrizes
com a restrição linear . - Em III, consideram-se todos os polinômios
com que satisfazem .
Passo 2
Lembra qual é a definição prática de subespaço vetorial (essa é a ferramenta que vamos usar): um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se e somente se as três propriedades seguintes valem:
- O vetor zero de
pertence a . Vou denotar esse vetor por . -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é um escalar real, então .
Essas três condições são equivalentes a exigir que
seja não-vazio, fechado por soma e fechado por escalares. Na prática, para decidir se um conjunto é subespaço, eu normalmente testo (a) se o vetor zero está no conjunto e (b) se a operação de multiplicação por
ou por um escalar estranho pode tirar um elemento do conjunto — se isso já falhar, o conjunto não é subespaço. Também uso que condições do tipo “uma equação linear homogênea sobre as coordenadas” costumam definir subespaços (porque são núcleos de formas lineares).
Agora vamos aplicar isso a cada afirmativa com calma e passo a passo.
Passo 3
Conjunto em I:
todas as entradas de
são positivas
. A palavra “positivas” significa estritamente
.
Teste do vetor zero: calcule
. Sabemos que
ou seja, todas as entradas de
são iguais a
. Mas a condição do conjunto exige entradas estritamente positivas. Logo
. Isso já basta para concluir que
não é um subespaço vetorial, porque um subespaço precisa conter o vetor zero.
Comentário didático rápido: mesmo sem verificar adição ou multiplicação por escalares, a ausência do vetor zero deixa claro que não é subespaço. Outro pensamento prático: se
(ou seja,
tem todas as entradas
), multiplicar por
dá
, que não está em
; portanto a propriedade de fechamento por escalares falha também — reforçando que
não é subespaço.
Conclusão da I: a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Conjunto em II:
. Vou verificar as três propriedades.
-
Vetor zero (matriz zero): a matriz zero
tem e . Então pois é verdadeiro. Logo . -
Fechamento por adição: tomemos
. Então e . A entrada e . Então
portanto
.
- Fechamento por escalares: para
e , tem-se e . Como , segue
logo
.
Como as três propriedades valem,
é um subespaço vetorial de
.
Comentário didático: a condição
é uma equação linear homogênea nos coeficientes da matriz (uma restrição do tipo
). Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas são, em geral, subespaços (são núcleos de aplicações lineares que extraem uma combinação linear das entradas).
Conclusão da II: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Conjunto em III:
, onde
é o espaço dos polinômios com grau máximo
.
Vou usar a propriedade que a avaliação é linear: para polinômios
e escalar
,
Defina a aplicação linear
por
. Então
é precisamente o núcleo de
:
. Núcleo de aplicação linear é sempre subespaço.
Para ser bem explícito e didático, verifico diretamente as três propriedades:
-
Vetor zero: o polinômio zero
satisfaz e , logo . Então . -
Fechamento por adição: se
, então e . Somando,
portanto
.
- Fechamento por escalares: se
e , então . Assim .
Exemplo concreto (para ver a forma da restrição): se
, então
A condição
dá
que rearranjando resulta em
Isso é uma equação linear homogênea entre os coeficientes
, mostrando que os polinômios que satisfazem a condição formam um subespaço (de dimensão
, pois há uma restrição linear independente entre
).
Conclusão da III: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Juntando as conclusões:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto apenas II e III são verdadeiras.
Resposta
(E)