Q11: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos vec{v} \in \mathbb{R}^{9} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 7 \times 9 é um subespaço vetorial.
II. O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33} ( a_{i j} é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(4)=2 p(5) é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede que se determine, entre as alternativas dadas, quais afirmativas são verdadeiras, sabendo que as afirmativas são:
I. O conjunto de todos os \vec{v}\in\mathbb{R}^{9} tais que todas as entradas de A\vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 7\times 9, é um subespaço vetorial.
II. O conjunto das matrizes 3\times 3 cujas entradas satisfazem a_{22}=-a_{33} (onde a_{ij} é a entrada na linha i, coluna j) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(4)=2\,p(5) é um subespaço vetorial.
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • Em I, A é uma matriz de tamanho 7\times 9 e a condição é “todas as entradas de A\vec{v} são positivas” (estritamente maiores que zero).
  • Em II, consideram-se todas as matrizes 3\times 3 com a restrição linear a_{22}=-a_{33}.
  • Em III, consideram-se todos os polinômios p com \deg(p)\le 2 que satisfazem p(4)=2\,p(5).

Passo 2

Lembra qual é a definição prática de subespaço vetorial (essa é a ferramenta que vamos usar): um subconjunto S de um espaço vetorial V é um subespaço se e somente se as três propriedades seguintes valem:
  1. O vetor zero de V pertence a S. Vou denotar esse vetor por \mathbf{0}.
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se v\in S e c é um escalar real, então c\,v\in S.
Essas três condições são equivalentes a exigir que S seja não-vazio, fechado por soma e fechado por escalares. Na prática, para decidir se um conjunto é subespaço, eu normalmente testo (a) se o vetor zero está no conjunto e (b) se a operação de multiplicação por 0 ou por um escalar estranho pode tirar um elemento do conjunto — se isso já falhar, o conjunto não é subespaço. Também uso que condições do tipo “uma equação linear homogênea sobre as coordenadas” costumam definir subespaços (porque são núcleos de formas lineares).
Agora vamos aplicar isso a cada afirmativa com calma e passo a passo.

Passo 3

Conjunto em I: S=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^{9}\mid todas as entradas de A\vec{v} são positivas \}. A palavra “positivas” significa estritamente >0.
Teste do vetor zero: calcule A\mathbf{0}. Sabemos que
A\mathbf{0}=\mathbf{0}\in\mathbb{R}^{7},
ou seja, todas as entradas de A\mathbf{0} são iguais a 0. Mas a condição do conjunto exige entradas estritamente positivas. Logo \mathbf{0}\notin S. Isso já basta para concluir que S não é um subespaço vetorial, porque um subespaço precisa conter o vetor zero.
Comentário didático rápido: mesmo sem verificar adição ou multiplicação por escalares, a ausência do vetor zero deixa claro que não é subespaço. Outro pensamento prático: se v\in S (ou seja, A v tem todas as entradas >0), multiplicar por 0 0, que não está em S; portanto a propriedade de fechamento por escalares falha também — reforçando que S não é subespaço.
Conclusão da I: a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Conjunto em II: T=\{M\in\mathbb{R}^{3\times 3}\mid m_{22}=-m_{33}\}. Vou verificar as três propriedades.
  1. Vetor zero (matriz zero): a matriz zero O tem o_{22}=0 e o_{33}=0. Então o_{22}=-o_{33} pois 0=-0 é verdadeiro. Logo O\in T.
  2. Fechamento por adição: tomemos M,N\in T. Então M_{22}=-M_{33} e N_{22}=-N_{33}. A entrada (M+N)_{22}=M_{22}+N_{22} e (M+N)_{33}=M_{33}+N_{33}. Então
(M+N)_{22}=M_{22}+N_{22}=-(M_{33}+N_{33})=-(M+N)_{33},
portanto M+N\in T.
  1. Fechamento por escalares: para c\in\mathbb{R} e M\in T, tem-se (cM)_{22}=c\,M_{22} e (cM)_{33}=c\,M_{33}. Como M_{22}=-M_{33}, segue
(cM)_{22}=c\,M_{22} = -c\,M_{33}=-(cM)_{33},
logo cM\in T.
Como as três propriedades valem, T é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3\times 3}.
Comentário didático: a condição m_{22}=-m_{33} é uma equação linear homogênea nos coeficientes da matriz (uma restrição do tipo m_{22}+m_{33}=0). Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas são, em geral, subespaços (são núcleos de aplicações lineares que extraem uma combinação linear das entradas).
Conclusão da II: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Conjunto em III: U=\{p\in\mathbb{P}_2\mid p(4)=2\,p(5)\}, onde \mathbb{P}_2 é o espaço dos polinômios com grau máximo 2.
Vou usar a propriedade que a avaliação é linear: para polinômios p,q e escalar c,
(p+q)(x)=p(x)+q(x),\qquad (c p)(x)=c\,p(x).
Defina a aplicação linear L:\mathbb{P}_2\to\mathbb{R} por L(p)=p(4)-2\,p(5). Então U é precisamente o núcleo de L: U=\ker(L)=\{p\mid L(p)=0\}. Núcleo de aplicação linear é sempre subespaço.
Para ser bem explícito e didático, verifico diretamente as três propriedades:
  1. Vetor zero: o polinômio zero p\equiv 0 satisfaz p(4)=0 e p(5)=0, logo p(4)=2p(5). Então p\equiv 0\in U.
  2. Fechamento por adição: se p,q\in U, então p(4)=2p(5) e q(4)=2q(5). Somando,
(p+q)(4)=p(4)+q(4)=2p(5)+2q(5)=2\bigl(p(5)+q(5)\bigr)=2(p+q)(5),
portanto p+q\in U.
  1. Fechamento por escalares: se p\in U e c\in\mathbb{R}, então (c p)(4)=c\,p(4)=c\cdot 2p(5)=2(c p)(5). Assim c p\in U.
Exemplo concreto (para ver a forma da restrição): se p(x)=ax^{2}+bx+c, então
p(4)=16a+4b+c,\qquad p(5)=25a+5b+c.
A condição p(4)=2p(5)
16a+4b+c = 2(25a+5b+c)=50a+10b+2c,
que rearranjando resulta em
34a+6b+c=0.
Isso é uma equação linear homogênea entre os coeficientes a,b,c, mostrando que os polinômios que satisfazem a condição formam um subespaço (de dimensão 2, pois há uma restrição linear independente entre a,b,c).
Conclusão da III: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Juntando as conclusões:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto apenas II e III são verdadeiras.

Resposta

(E)

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