Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Toda projeção
é diagonalizável.
II - Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 15 e 26 respectivamente, então
é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Toda projeção
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas sobre operadores lineares e pede que escolhamos quais são verdadeiras. As informações relevantes são:
- Afirmativa I: “Toda projeção
é diagonalizável.” - Afirmativa II: “Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica e respectivamente, então é diagonalizável.”
A tarefa é decidir a veracidade de cada afirmativa e indicar a alternativa correta entre (A), (B), (C), (D).
Passo 2
Vamos revisar os conceitos que vamos usar (com calma, como se estivéssemos estudando juntos):
- Um operador linear
é diagonalizável se existe uma base de composta por autovetores de . Na prática, isso significa que conseguimos escrever a matriz de (na base escolhida) como uma matriz diagonal. - Eigenspaço (espaço próprio) e multiplicidade geométrica: para um autovalor
, o eigenspaço é e a sua dimensão é a multiplicidade geométrica de . - Multiplicidade algébrica: é a multiplicidade de
como raiz do polinômio característico de . - Fatos importantes que usamos em provas:
- Para todo autovalor
vale . -
é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos eigenspaços (isto é, a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores) for igual a . - Se o polinômio mínimo de
é produto de fatores lineares distintos (isto é, sem raízes múltiplas), então é diagonalizável.
- Para todo autovalor
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Toda projeção
é diagonalizável.”
- Definição de projeção que vamos usar:
é projeção se . - Observe que, para uma projeção, qualquer vetor
em satisfaz , logo é autovalor com eigenspaço . Qualquer vetor em satisfaz , logo é autovalor com eigenspaço . - Temos a decomposição direta canônica
Isso significa que podemos escolher uma base de e uma base de , e a união dessas bases forma uma base de inteira composta por autovetores de (os da imagem têm autovalor , os do núcleo têm autovalor ). - Assim existe uma base formada só por autovetores, logo
é diagonalizável. Outra forma de ver: o polinômio mínimo de divide , que tem raízes simples, portanto é diagonalizável. - Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Pequena ilustração/intuition extra (útil na prova): seentão, na base apropriada, a matriz de é a diagonal com entradas iguais a e entradas iguais a . Isso mostra de forma concreta a diagonalização, sem depender de ortogonalidade nem nada complicado.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica
e
respectivamente, então
é diagonalizável.”
- Pelo enunciado, existem exatamente dois autovalores distintos, digamos
e , cujos eigenspaços têm dimensões e . - A soma das multiplicidades geométricas desses dois autovalores é
- Para
ser diagonalizável em seria necessário que a soma das dimensões dos eigenspaços fosse (ou seja, ter uma base de autovetores). Mas aqui a soma é , logo não há autovetores suficientes para formar uma base. - Também observe que como existem apenas dois autovalores, as multiplicidades algébricas deles somam
, mas cada multiplicidade geométrica é no máximo a algébrica; como a soma das geométricas é , pelo menos uma das geométricas é estritamente menor que a correspondente algébrica, impedindo a diagonalização. - Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Juntando os resultados: I é verdadeira e II é falsa. Portanto a alternativa correta é a que diz “Só I é verdadeira”.
Resposta
(B) Só I é verdadeira.