Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Toda projeção P: \mathbb{R}^{51} \rightarrow \mathbb{R}^{51} é diagonalizável.
II - Se R: \mathbb{R}^{42} \rightarrow \mathbb{R}^{42} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 15 e 26 respectivamente, então R é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas sobre operadores lineares e pede que escolhamos quais são verdadeiras. As informações relevantes são:
  • Afirmativa I: “Toda projeção P: \mathbb{R}^{51} \rightarrow \mathbb{R}^{51} é diagonalizável.”
  • Afirmativa II: “Se R: \mathbb{R}^{42} \rightarrow \mathbb{R}^{42} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 15 e 26 respectivamente, então R é diagonalizável.”
    A tarefa é decidir a veracidade de cada afirmativa e indicar a alternativa correta entre (A), (B), (C), (D).

Passo 2

Vamos revisar os conceitos que vamos usar (com calma, como se estivéssemos estudando juntos):
  • Um operador linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^n composta por autovetores de T. Na prática, isso significa que conseguimos escrever a matriz de T (na base escolhida) como uma matriz diagonal.
  • Eigenspaço (espaço próprio) e multiplicidade geométrica: para um autovalor \lambda, o eigenspaço é \ker(T-\lambda I) e a sua dimensão é a multiplicidade geométrica de \lambda.
  • Multiplicidade algébrica: é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico de T.
  • Fatos importantes que usamos em provas:
    1. Para todo autovalor \lambda vale \text{multiplicidade geométrica}(\lambda)\le \text{multiplicidade algébrica}(\lambda)éé.
    2. T é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos eigenspaços (isto é, a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores) for igual a n.
    3. Se o polinômio mínimo de T é produto de fatores lineares distintos (isto é, sem raízes múltiplas), então T é diagonalizável.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Toda projeção P: \mathbb{R}^{51}\to\mathbb{R}^{51} é diagonalizável.”
  • Definição de projeção que vamos usar: P é projeção se P^2 = P.
  • Observe que, para uma projeção, qualquer vetor v em \text{Im}(P) satisfaz P(v)=v, logo 1 é autovalor com eigenspaço \text{Im}(P). Qualquer vetor w em \ker(P) satisfaz P(w)=0, logo 0 é autovalor com eigenspaço \ker(P).
  • Temos a decomposição direta canônica \mathbb{R}^{51} = \text{Im}(P)\oplus \ker(P).Isso significa que podemos escolher uma base de \text{Im}(P) e uma base de \ker(P), e a união dessas bases forma uma base de \mathbb{R}^{51} inteira composta por autovetores de P (os da imagem têm autovalor 1, os do núcleo têm autovalor 0).
  • Assim existe uma base formada só por autovetores, logo P é diagonalizável. Outra forma de ver: o polinômio mínimo de P divide x(x-1), que tem raízes simples, portanto P é diagonalizável.
  • Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
    Pequena ilustração/intuition extra (útil na prova): se \dim\text{Im}(P)=k então, na base apropriada, a matriz de P é a diagonal com k entradas iguais a 1 e 51-k entradas iguais a 0. Isso mostra de forma concreta a diagonalização, sem depender de ortogonalidade nem nada complicado.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Se R: \mathbb{R}^{42}\to\mathbb{R}^{42} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 15 e 26 respectivamente, então R é diagonalizável.”
  • Pelo enunciado, existem exatamente dois autovalores distintos, digamos \lambda_1 e \lambda_2, cujos eigenspaços têm dimensões \dim E_{\lambda_1}=15 e \dim E_{\lambda_2}=26.
  • A soma das multiplicidades geométricas desses dois autovalores é 15+26=41.
  • Para R ser diagonalizável em \mathbb{R}^{42} seria necessário que a soma das dimensões dos eigenspaços fosse 42 (ou seja, ter uma base de 42 autovetores). Mas aqui a soma é 41<42, logo não há autovetores suficientes para formar uma base.
  • Também observe que como existem apenas dois autovalores, as multiplicidades algébricas deles somam 42, mas cada multiplicidade geométrica é no máximo a algébrica; como a soma das geométricas é 41, pelo menos uma das geométricas é estritamente menor que a correspondente algébrica, impedindo a diagonalização.
  • Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Juntando os resultados: I é verdadeira e II é falsa. Portanto a alternativa correta é a que diz “Só I é verdadeira”.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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