Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo x é diagonalizável.
II - Se F e 46 \times 46, então F possui autovetor \vec{v} \in \mathbb{R}^{46}.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas saio verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre transformações lineares reais de dimensão finita e pede para identificarmos quais são verdadeiras:
Toda rotação em \mathbb{R}^3 em torno do eixo x é diagonalizável (sobre \mathbb{R}).
Se F é uma aplicação linear representada por uma matriz real 46\times46, então F possui autovetor \vec v\in\mathbb{R}^{46}.
O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes reais e existência de autovalores/autovetores.
Passo 2
Para a afirmação I, considere uma rotação em torno do eixo x de ângulo \theta\neq0,\pi. Na base canônica de \mathbb{R}^3, sua matriz tem a forma de bloco
Desses, apenas 1 é real; os outros formam par complexo conjugado.
Passo 3
Como a matriz tem apenas um autovalor real, não há três autovetores reais linearmente independentes. Logo, não é diagonalizável sobre \mathbb{R} (embora seja sobre \mathbb{C}). Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 4
Para a afirmação II, basta dar um contraexemplo em dimensão par: uma rotação em \mathbb{R}^2 (matriz 2\times2) não possui autovetor real quando o ângulo não é múltiplo de \pi. Podemos fazer blocos desse tipo para preencher uma matriz 46\times46. Logo, nem toda matriz real quadrada de dimensão 46 tem autovetor em \mathbb{R}^{46}. A afirmação II também é falsa.