Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(4 x-8 y+3 z, \frac{y}{4}-7 z, z\right),
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 6 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) : (A) é maior do que o volume de Q.
(B) é igual ao volume de Q.
(C) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é menor do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=\bigl(4x-8y+3z,\;\tfrac{y}{4}-7z,\;z\bigr)
e um paralelepípedo Q\subset\mathbb{R}^3 de volume 6. Para saber como o volume muda sob T, vamos usar o fato de que o fator de escala de volume é o valor absoluto do determinante da matriz de T.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica:
A = \begin{pmatrix} 4 & -8 & 3\\\\ 0 & \tfrac14 & -7\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como A é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Calculamos
\det(A)=4\cdot\tfrac14\cdot1=1.
Isso significa que T escala volumes por um fator \lvert\det(A)\rvert=1. Portanto, T(Q) tem o mesmo volume de Q.

Resposta

(B) é igual ao volume de Q.

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