Q16: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v}
a forma quadrática associada. Se o espectro de A é
\{-4,-1,0\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica A de ordem 5 e define a forma quadrática
f(\vec v)=\vec v^{T}A\vec v.
Sabemos que o espectro de A é
\{-4,\,-1,\,0\},
isto é, A tem autovalores -4, -1 e 0. O conteúdo usado será a classificação de formas quadráticas em função dos sinais dos autovalores de uma matriz simétrica.

Passo 2

Como A é simétrica, existe uma base ortonormal de autovetores \{\vec e_i\} em que A é diagonal, com autovalores \lambda_i\in\{-4,-1,0\}. Para um vetor arbitrário \vec v com coordenadas \alpha_i nessa base, temos
f(\vec v) =\vec v^{T}A\vec v =\sum_{i=1}^{5}\lambda_i\,\alpha_i^2.

Passo 3

Como os autovalores são -4, -1 e 0, cada termo \lambda_i\,\alpha_i^2 é não--positivo, logo
f(\vec v)\le 0 \quad\text{para todo \(\vec v\).}
Além disso, existe subespaço próprio associado ao autovalor 0 (o núcleo de A), de dimensão pelo menos 1, de modo que, se \vec v\neq\vec 0 pertence a esse núcleo, então
f(\vec v)=0.

Passo 4

Isso mostra que f é negativa semidefinida, mas não é estritamente negativa, pois existem \vec v\neq\vec 0 com f(\vec v)=0. Portanto a afirmação
\text{(A) }f(\vec v)<0\text{ para todo }\vec v\neq\vec 0
é falsa.

Resposta

A é falsa.

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