Q16: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
a forma quadrática associada. Se o espectro de
(A)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica
de ordem
e define a forma quadrática
Sabemos que o espectro de
é
isto é,
tem autovalores
,
e
. O conteúdo usado será a classificação de formas quadráticas em função dos sinais dos autovalores de uma matriz simétrica.
Passo 2
Como
é simétrica, existe uma base ortonormal de autovetores
em que
é diagonal, com autovalores
. Para um vetor arbitrário
com coordenadas
nessa base, temos
Passo 3
Como os autovalores são
,
e
, cada termo
é não--positivo, logo
Além disso, existe subespaço próprio associado ao autovalor
(o núcleo de
), de dimensão pelo menos
, de modo que, se
pertence a esse núcleo, então
Passo 4
Isso mostra que
é negativa semidefinida, mas não é estritamente negativa, pois existem
com
. Portanto a afirmação
é falsa.
Resposta
A é falsa.