Q12: Qual é a dimensão do subsespaço H de \mathbb{R}^{4} definido por
H=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 8 \\\\ 6 \\\\ 6 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 3 \\\\ 3 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\} ? \quad \begin{aligned} & \mathrm{L} 5=3 \cdot \mathrm{~L}_{1} \\\ & \mathrm{~L} 4=\mathrm{L} 3+\mathrm{L}_{1} \end{aligned}
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de
H=\span\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}\subset\R^4
onde
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\, v_2=\begin{pmatrix}8\\\ 6\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix},\, v_3=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\, v_4=\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\, v_5=\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
Para achar a dimensão, precisamos encontrar o número máximo de vetores linearmente independentes nesse conjunto.

Passo 2

Observamos duas dependências imediatas (já sugeridas no enunciado):
v_5=3\,v_1, \quad v_4=v_3+v_1.
Logo v_5 e v_4 não trazem vetores novos ao span.

Passo 3

Verificamos agora se v_2\) está em \(\span\{v_1,v_3\}\). Buscamos \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha\,v_1+\beta\,v_3 = v_2.
Isto é,
\alpha\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\\ 6\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix}
que gera o sistema
\begin{cases} \alpha+2\beta=8,\\\ \alpha+\beta=6. \end{cases}
Da segunda equação \alpha=6-\beta\]. Substituindo na primeira: \[6-\beta+2\beta=8 \;\Rightarrow\; \beta=2,\quad\alpha=4.\] Então \(v_2=4\,v_1+2\,v_3, ou seja, também está no span de v_1 e v_3.

Passo 4

Concluímos que
H=\span\{v_1,v_3\}.
Como v_1 e v_3 não são múltiplos um do outro, são linearmente independentes. Portanto a dimensão de H é 2.

Resposta

(C) 2

Exercícios relacionados