Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores e pede qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
). Dados relevantes do enunciado:
O objetivo é encontrar todos os vetores
tais que
é ortogonal a
, e então verificar qual das alternativas fornece um conjunto que é base de
.
Passo 2
Conceito chave (explicação didática):
é o conjunto de todos os vetores que têm produto interno zero com todos os geradores de
. O produto interno padrão em
é
ou seja, soma das componentes produto a produto. Para
devemos ter
Vamos escrever explicitamente essas equações em termos de
.
Passo 3
Formulando as equações de ortogonalidade (a conta passo a passo):
Agora resolvemos esse sistema simples de equações lineares.
Passo 4
Resolver as equações em sequência:
Da primeira equação temos
Da primeira equação temos
Da segunda equação temos
Igualando as duas expressões para
obtemos
Substituindo
e
na terceira equação:
ou seja, a terceira equação é satisfeita automaticamente (é dependente das duas primeiras).
Portanto as incógnitas livres são
e
. Pondo parâmetros
e
, a solução geral é
Isto mostra que
e, em particular,
. Qualquer base de
deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes pertencentes a
.
Passo 5
Agora verificamos as alternativas: para que um vetor
pertença a
ele deve satisfazer as relações que achamos:
e
. Vamos testar rapidamente as alternativas relevantes:
- Para
: e . Logo . - Para
: e . Logo .
Esses dois vetores estão em. Como , se esses dois vetores forem linearmente independentes então formam uma base. Verificamos independência: suponha . Das duas primeiras componentes obtemos
Da primeira
. Substituindo na segunda:
Logo são linearmente independentes. Portanto a alternativa que contém esses dois vetores é uma base de
.
As demais alternativas ou contêm vetores que não satisfazem as relações
(portanto não estão em
) ou têm apenas um vetor (ímpar com
), então não podem ser base.
Passo 6
Conclusão: a única alternativa que dá dois vetores em
e linearmente independentes é a alternativa (B). Parabéns — você acabou de encontrar uma base de
de forma sistemática: escrevendo as condições de ortogonalidade, resolvendo o sistema, parametrizando a solução e testando os candidatos.
Resposta
(B)