Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,0,-1,2),(0,-2,1,0),(0,4,-5,6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,3,6,3),(2,4,4,-3)\}
(B) \{(4,3,6,3),(-3,2,4,2)\}
(C) \{(2,-3,-3,4),(2,4,4,-3)\}
(D) \{(2,-3,-3,4)\}
(E) \{(2,-3,-3,4),(-3,2,4,2)\}
(F) \{(2,4,4,-3)\}
(G) \{(4,3,6,3)\}
(H) \{(-3,2,4,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pede qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H). Dados relevantes do enunciado:
v_1=(0,0,-1,2),\qquad v_2=(0,-2,1,0),\qquad v_3=(0,4,-5,6).
O objetivo é encontrar todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 tais que x é ortogonal a v_1,v_2,v_3, e então verificar qual das alternativas fornece um conjunto que é base de H^{\perp}.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): H^{\perp} é o conjunto de todos os vetores que têm produto interno zero com todos os geradores de H. O produto interno padrão em \mathbb{R}^4 é
x\cdot v = x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 + x_4 v_4,
ou seja, soma das componentes produto a produto. Para x\in H^{\perp} devemos ter
x\cdot v_1=0,\qquad x\cdot v_2=0,\qquad x\cdot v_3=0.
Vamos escrever explicitamente essas equações em termos de x_1,x_2,x_3,x_4.

Passo 3

Formulando as equações de ortogonalidade (a conta passo a passo):
x\cdot v_1 = 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)\cdot x_3 + 2\cdot x_4 = -x_3 + 2x_4 = 0.
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + (-2)\cdot x_2 + 1\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = -2x_2 + x_3 = 0.
x\cdot v_3 = 0\cdot x_1 + 4\cdot x_2 + (-5)\cdot x_3 + 6\cdot x_4 = 4x_2 -5x_3 +6x_4 = 0.
Agora resolvemos esse sistema simples de equações lineares.

Passo 4

Resolver as equações em sequência:
Da primeira equação temos
-x_3 + 2x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 2x_4.
Da segunda equação temos
-2x_2 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 2x_2.
Igualando as duas expressões para x_3 obtemos
2x_4 = 2x_2 \quad\Rightarrow\quad x_2 = x_4.
Substituindo x_2=x_4 e x_3=2x_4 na terceira equação:
4x_2 -5x_3 +6x_4 = 4x_4 -5(2x_4) +6x_4 = 4x_4 -10x_4 +6x_4 = 0,
ou seja, a terceira equação é satisfeita automaticamente (é dependente das duas primeiras).
Portanto as incógnitas livres são x_1 e x_4. Pondo parâmetros s=x_1 e t=x_4, a solução geral é
x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(s,\;t,\;2t,\;t)=s(1,0,0,0)+t(0,1,2,1).
Isto mostra que
H^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),\;(0,1,2,1)\}
e, em particular, \dim H^{\perp}=2. Qualquer base de H^{\perp} deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes pertencentes a H^{\perp}.

Passo 5

Agora verificamos as alternativas: para que um vetor u=(u_1,u_2,u_3,u_4) pertença a H^{\perp} ele deve satisfazer as relações que achamos: u_2=u_4 e u_3=2u_4. Vamos testar rapidamente as alternativas relevantes:
  • Para u=(4,3,6,3): u_2=3=u_4 e u_3=6=2\cdot 3. Logo u\in H^{\perp}.
  • Para u=(-3,2,4,2): u_2=2=u_4 e u_3=4=2\cdot 2. Logo u\in H^{\perp}.
    Esses dois vetores estão em H^{\perp}. Como \dim H^{\perp}=2, se esses dois vetores forem linearmente independentes então formam uma base. Verificamos independência: suponha a(4,3,6,3)+b(-3,2,4,2)=(0,0,0,0). Das duas primeiras componentes obtemos
4a-3b=0,\qquad 3a+2b=0.
Da primeira a=\tfrac{3}{4}b. Substituindo na segunda:
3\cdot\tfrac{3}{4}b + 2b = \frac{9}{4}b + 2b = \frac{17}{4}b = 0 \Rightarrow b=0 \Rightarrow a=0.
Logo são linearmente independentes. Portanto a alternativa que contém esses dois vetores é uma base de H^{\perp}.
As demais alternativas ou contêm vetores que não satisfazem as relações u_2=u_4,\\ u_3=2u_4 (portanto não estão em H^{\perp}) ou têm apenas um vetor (ímpar com \dim H^{\perp}=2), então não podem ser base.

Passo 6

Conclusão: a única alternativa que dá dois vetores em H^{\perp} e linearmente independentes é a alternativa (B). Parabéns — você acabou de encontrar uma base de H^{\perp} de forma sistemática: escrevendo as condições de ortogonalidade, resolvendo o sistema, parametrizando a solução e testando os candidatos.

Resposta

(B)

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