Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o unico vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Queremos o valor de
entre as opções dadas.
Passo 2
Entender o que significa
: estar em
quer dizer que
é combinação linear dos vetores geradores de
. Logo existem escalares
tais que
Calculando componente a componente obtemos
Passo 3
Como queremos
, a primeira coordenada deve ser
. Assim
Dessa equação isolamos
em função de
:
Passo 4
Substituindo
nas outras componentes, calculamos
e
:
Passo 5
Agora impomos a condição
. Pelo enunciado
, então
significa que
é ortogonal a
. Ou seja, o produto escalar deve ser zero:
Substituímos
e
na expressão do produto escalar:
Passo 6
Calculemos passo a passo a soma do produto escalar:
Portanto a equação fica
Resolvendo obtemos
Passo 7
Com
voltamos a
e às componentes:
Podemos verificar:
e
, logo
. A equação que determinou
teve solução única, então o vetor é único.
Resposta
(F) 2