Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(1,1,2),(1,2,6)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(2,-6,1)\} \end{gathered}
Encontre o unico vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=\left(-1,x_{2},x_{3}\right).
Dados fornecidos:
H=\operatorname{span}\{(1,1,2),(1,2,6)\}, \qquad M=\operatorname{span}\{(2,-6,1)\}.
Queremos o valor de x_{3} entre as opções dadas.

Passo 2

Entender o que significa \vec{x}\in H: estar em H quer dizer que \vec{x} é combinação linear dos vetores geradores de H. Logo existem escalares a,b tais que
\vec{x}=a(1,1,2)+b(1,2,6).
Calculando componente a componente obtemos
\vec{x}=(a+b,\;a+2b,\;2a+6b).

Passo 3

Como queremos \vec{x}=\left(-1,x_{2},x_{3}\right), a primeira coordenada deve ser -1. Assim
a+b=-1.
Dessa equação isolamos a em função de b:
a=-1-b.

Passo 4

Substituindo a=-1-b nas outras componentes, calculamos x_{2} e x_{3}:
x_{2}=a+2b=(-1-b)+2b=-1+b,
x_{3}=2a+6b=2(-1-b)+6b=-2-2b+6b=-2+4b.

Passo 5

Agora impomos a condição \vec{x}\in M^{\perp}. Pelo enunciado M=\operatorname{span}\{(2,-6,1)\}, então \vec{x}\in M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal a (2,-6,1). Ou seja, o produto escalar deve ser zero:
(2,-6,1)\cdot(-1,x_{2},x_{3})=0.
Substituímos x_{2}=-1+b e x_{3}=-2+4b na expressão do produto escalar:
2(-1)+(-6)(-1+b)+(-2+4b)=0.

Passo 6

Calculemos passo a passo a soma do produto escalar:
2(-1)=-2,
(-6)(-1+b)=6-6b,
\text{somando tudo: } -2+(6-6b)+(-2+4b)=(-2+6-2)+(-6b+4b)=2-2b.
Portanto a equação fica
2-2b=0.
Resolvendo obtemos
b=1.

Passo 7

Com b=1 voltamos a a=-1-b e às componentes:
a=-1-1=-2,
x_{2}=-1+b=-1+1=0,
x_{3}=-2+4b=-2+4\cdot1=2.
Podemos verificar: \vec{x}=(-1,0,2)=-2(1,1,2)+1(1,2,6)\in H e (2,-6,1)\cdot(-1,0,2)=-2+0+2=0, logo \vec{x}\in M^{\perp}. A equação que determinou b teve solução única, então o vetor é único.

Resposta

(F) 2

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