Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -4 -67.5
-2 -2 -31.5
-1 2 1.7
0 5 24.0
1 3 9.3
2 -1 -25.6
3 -2 -56.4
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -288.4
(B) -287.4
(C) -286.4
(D) -285.4
(E) -284.4
(F) -283.4
(G) -282.4
(H) -281.4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Ajustar, pelo método dos mínimos quadrados, os parâmetros \,a,b,c do modelo \;Z = a x^{2} + b y + c\; usando as 7 medições dadas.
  • Usar o modelo ajustado para prever o valor de Z em (x,y)=(8,7) e escolher a melhor aproximação entre as opções.
Dados fornecidos (copiei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & -4 & -67{,}5\\\\ -2 & -2 & -31{,}5\\\\ -1 & 2 & 1{,}7\\\\ 0 & 5 & 24{,}0\\\\ 1 & 3 & 9{,}3\\\\ 2 & -1 & -25{,}6\\\\ 3 & -2 & -56{,}4 \end{array}
O objetivo operacional: montar o sistema normal dos mínimos quadrados e resolvê-lo para obter \;a,b,c\;; em seguida calcular \;Z(8,7)=a\cdot 8^{2}+b\cdot 7 + c\;.

Passo 2

Conceito e montagem do problema (aula curta e prática).
  • Em regressão linear por mínimos quadrados, quando o modelo é linear nos parâmetros (aqui linear em a,b,c se usarmos como variáveis x^{2},y,1), escrevemos o sistema na forma matricial
X\beta = Z,
onde \beta=\begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix}, cada linha de X corresponde aos regressors \,(x^{2},\,y,\,1) da medição, e Z é o vetor das medições. O estimador dos mínimos quadrados satisfaz as equações normais
X^{T}X\,\beta = X^{T}Z.
  • Vou construir explicitamente X^{T}X e X^{T}Z somando as quantidades necessárias a partir dos dados. Para cada ponto calculei x^{2} e os produtos necessários; peguei esses valores diretamente da tabela (usei os x,y,Z da tabela).
Calculemos as somas (cada soma é obtida somando as colunas correspondentes dos 7 pontos):
\begin{aligned} &\sum x^{2} = 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ &\sum y = -4-2+2+5+3-1-2 = 1,\\\ &\sum 1 = 7,\\\ &\sum (x^{2})^{2} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} =81+16+1+0+1+16+81=196,\\\ &\sum x^{2}y = 9(-4)+4(-2)+1\cdot2+0\cdot5+1\cdot3+4(-1)+9(-2) = -36-8+2+0+3-4-18 = -61,\\\ &\sum y^{2} = (-4)^{2}+(-2)^{2}+2^{2}+5^{2}+3^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}=63,\\\ &\sum x^{2}Z = 9(-67{,}5)+4(-31{,}5)+1(1{,}7)+0(24{,}0)+1(9{,}3)+4(-25{,}6)+9(-56{,}4)\\\ &\qquad= -607{,}5 -126 +1{,}7 +0 +9{,}3 -102{,}4 -507{,}6 = -1332{,}5,\\\ &\sum yZ = (-4)(-67{,}5)+(-2)(-31{,}5)+2(1{,}7)+5(24{,}0)+3(9{,}3)+(-1)(-25{,}6)+(-2)(-56{,}4)\\\ &\qquad=270+63+3{,}4+120+27{,}9+25{,}6+112{,}8 = 622{,}7,\\\ &\sum Z = -67{,}5-31{,}5+1{,}7+24{,}0+9{,}3-25{,}6-56{,}4 = -146{,}0. \end{aligned}]

Passo 3

Montagem das equações normais.
  • A matriz X^{T}X tem entradas \sum adequadas; com as somas acima obtemos
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum (x^{2})^{2} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & \sum 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -61 & 28\\[4pt] -61 & 63 & 1\\[4pt] 28 & 1 & 7 \end{pmatrix}.
  • O vetor X^{T}Z é
X^{T}Z = \begin{pmatrix}\sum x^{2}Z\\[4pt]\sum yZ\\[4pt]\sum Z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1332{,}5\\[4pt]622{,}7\\[4pt]-146{,}0\end{pmatrix}.
  • As equações normais são, portanto,
\begin{pmatrix} 196 & -61 & 28\\[4pt] -61 & 63 & 1\\[4pt] 28 & 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1332{,}5\\[4pt]622{,}7\\[4pt]-146{,}0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver o sistema linear (escolhi o método da inversa via adjunta porque é direto para 3×3 e permite cálculo manual organizado).
  • Primeiro calculei o determinante de X^{T}X por expansão; obtive
\det(X^{T}X) = 7{,}385.
(Detalhes do cálculo do determinante: desenvolvimento pela primeira linha com os menores leads a 196(63\cdot7-1\cdot1)-(-61)(-61\cdot7-1\cdot28)+28(-61\cdot1-63\cdot28)=7{,}385.)
  • Em seguida calculei a matriz dos cofatores (cada cofator é o menor apropriado com sinal) e sua transposta (adjugate). O adjunto deu a matriz
\operatorname{adj}(X^{T}X)= \begin{pmatrix} 440 & 455 & -1825\\[4pt] 455 & 588 & -1904\\[4pt] -1825 & -1904 & 8627 \end{pmatrix}.
  • Assim a inversa é (X^{T}X)^{-1} = \dfrac{1}{7385}\operatorname{adj}(X^{T}X).
  • Para obter \beta calculei \operatorname{adj}(X^{T}X)\,(X^{T}Z) passo a passo:
\begin{aligned} p_1 &= 440(-1332{,}5) + 455(622{,}7) + (-1825)(-146) = -36521{,}5,\\\ p_2 &= 455(-1332{,}5) + 588(622{,}7) + (-1904)(-146) = 37844{,}1,\\\ p_3 &= -1825(-1332{,}5) + (-1904)(622{,}7) + 8627(-146) = -13350{,}3. \end{aligned}
(Estas somas foram calculadas explicitamente linha a linha usando os números do vetor X^{T}Z.)
  • Finalmente
\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \frac{1}{7385}\begin{pmatrix}p_1\\[4pt] p_2\\[4pt] p_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{-36521{,}5}{7385}\\[6pt]\dfrac{37844{,}1}{7385}\\[6pt]\dfrac{-13350{,}3}{7385}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Valores numéricos dos parâmetros (aproximação decimal suficiente para calcular a previsão):
\begin{aligned} a &\approx \dfrac{-36521{,}5}{7385}\approx -4{,}945355\,,\\[4pt] b &\approx \dfrac{37844{,}1}{7385}\approx 5{,}124450\,,\\[4pt] c &\approx \dfrac{-13350{,}3}{7385}\approx -1{,}807072\,. \end{aligned}
(Estas divisões foram feitas por divisão longa para obter 6 casas decimais suficientes; os valores estão arredondados na 6ª casa.)]

Passo 6

Previsão para (x,y)=(8,7).
  • Use a fórmula do modelo:
Z(8,7) = a\cdot 8^{2} + b\cdot 7 + c.
  • Substituindo os valores (vou também mostrar um cálculo exato em frações obtido a partir das frações exatas dos parâmetros):
\begin{aligned} a\cdot 8^{2} &= a\cdot 64 \approx -4{,}945355\times 64 \approx -316{,}50272,\\[4pt] b\cdot 7 &\approx 5{,}124450\times 7 \approx 35{,}87115,\\[4pt] c &\approx -1{,}807072. \end{aligned}
Somando:
Z(8,7) \approx -316{,}50272 + 35{,}87115 -1{,}807072 \approx -282{,}43864.
  • Também podemos escrever o resultado exato obtido manipulando as frações: Z(8,7) = -20\,858\,176/73\,850 \approx -282{,}43968. Os dois métodos coincidem numericamente dentro do arredondamento.]

Resposta

(G) -282.4

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