Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-4
-67.5
-2
-2
-31.5
-1
2
1.7
0
5
24.0
1
3
9.3
2
-1
-25.6
3
-2
-56.4
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -288.4
(B) -287.4
(C) -286.4
(D) -285.4
(E) -284.4
(F) -283.4
(G) -282.4
(H) -281.4
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Ajustar, pelo método dos mínimos quadrados, os parâmetros \,a,b,c do modelo \;Z = a x^{2} + b y + c\; usando as 7 medições dadas.
Usar o modelo ajustado para prever o valor de Z em (x,y)=(8,7) e escolher a melhor aproximação entre as opções.
Dados fornecidos (copiei-os da tabela do enunciado):
O objetivo operacional: montar o sistema normal dos mínimos quadrados e resolvê-lo para obter \;a,b,c\;; em seguida calcular \;Z(8,7)=a\cdot 8^{2}+b\cdot 7 + c\;.
Passo 2
Conceito e montagem do problema (aula curta e prática).
Em regressão linear por mínimos quadrados, quando o modelo é linear nos parâmetros (aqui linear em a,b,c se usarmos como variáveis x^{2},y,1), escrevemos o sistema na forma matricial
X\beta = Z,
onde \beta=\begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix}, cada linha de X corresponde aos regressors \,(x^{2},\,y,\,1) da medição, e Z é o vetor das medições. O estimador dos mínimos quadrados satisfaz as equações normais
X^{T}X\,\beta = X^{T}Z.
Vou construir explicitamente X^{T}X e X^{T}Z somando as quantidades necessárias a partir dos dados. Para cada ponto calculei x^{2} e os produtos necessários; peguei esses valores diretamente da tabela (usei os x,y,Z da tabela).
Calculemos as somas (cada soma é obtida somando as colunas correspondentes dos 7 pontos):
Resolver o sistema linear (escolhi o método da inversa via adjunta porque é direto para 3×3 e permite cálculo manual organizado).
Primeiro calculei o determinante de X^{T}X por expansão; obtive
\det(X^{T}X) = 7{,}385.
(Detalhes do cálculo do determinante: desenvolvimento pela primeira linha com os menores leads a 196(63\cdot7-1\cdot1)-(-61)(-61\cdot7-1\cdot28)+28(-61\cdot1-63\cdot28)=7{,}385.)
Em seguida calculei a matriz dos cofatores (cada cofator é o menor apropriado com sinal) e sua transposta (adjugate). O adjunto deu a matriz
Valores numéricos dos parâmetros (aproximação decimal suficiente para calcular a previsão):
\begin{aligned} a &\approx \dfrac{-36521{,}5}{7385}\approx -4{,}945355\,,\\[4pt] b &\approx \dfrac{37844{,}1}{7385}\approx 5{,}124450\,,\\[4pt] c &\approx \dfrac{-13350{,}3}{7385}\approx -1{,}807072\,. \end{aligned}
(Estas divisões foram feitas por divisão longa para obter 6 casas decimais suficientes; os valores estão arredondados na 6ª casa.)]
Passo 6
Previsão para (x,y)=(8,7).
Use a fórmula do modelo:
Z(8,7) = a\cdot 8^{2} + b\cdot 7 + c.
Substituindo os valores (vou também mostrar um cálculo exato em frações obtido a partir das frações exatas dos parâmetros):
Também podemos escrever o resultado exato obtido manipulando as frações: Z(8,7) = -20\,858\,176/73\,850 \approx -282{,}43968. Os dois métodos coincidem numericamente dentro do arredondamento.]