Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores e pergunta qual dos conjuntos listados é base de
(o complemento ortogonal de
). Informações relevantes fornecidas:
As opções a verificar são, entre outras,
,
,
, etc.
A tarefa é achar e identificar qual conjunto dado é uma base de
.
A tarefa é achar
Passo 2
Definição e montagem das equações: um vetor genérico de
eu escrevo como
Para que
precisamos ter
para cada gerador
de
. Vou escrever as três equações de ortogonalidade (produto interno canônico, somatório de componentes multiplicadas):
As equações são
Passo 3
Resolver o sistema obtido: escrevo as três equações novamente e resolvo passo a passo.
Agora uso (3) em (2): como
, (2) dá
. Isso coincide com (1) (que disse
), então as três equações são consistentes entre si. Observação:
não aparece em nenhuma equação, portanto é livre.
Escolho
para parametrizar
e
para parametrizar
:
Passo 4
Escrevo a solução geral e extraio uma base para
. A forma geral de
é
Logo
Como há dois parâmetros livres,
, e os vetores acima são linearmente independentes (o segundo tem componente 4 diferente de zero enquanto o primeiro tem a quarta componente zero), portanto formam uma base natural de
.
Pequena intuição: todo vetor em
tem a quarta componente zero (veja os geradores), então qualquer vetor ortogonal a
pode ter componente na direção
livre — por isso esse vetor aparece na base de
.
Passo 5
Verificação da opção
:
- Mostro que cada vetor pertence a
. Usando a representação em termos da base encontrada,
Portanto ambos estão em
.
- Mostro que são linearmente independentes: escrevo suas coordenadas na base
como e . O determinante da matriz formada por essas coordenadas é
logo são linearmente independentes. Como estão em
e são dois vetores independentes, formam uma base de
.
Checagem rápida de outras opções (resumo):
- Qualquer conjunto com apenas um vetor não pode ser base porque
. - O vetor
, por exemplo, não satisfaz as relações e simultaneamente (verificando: , , dá ), logo não está em ; isso elimina várias alternativas que o contêm.]
Resposta
(A)