Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(1,0,-2,0),(-1,2,0,0),(0,-8,8,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(\checkmark)\{(8,4,4,1),(6,3,3,4)\}
(B) \{(8,4,4,1),(4,4,2,-4)\}
(C) \{(8,4,4,1)\}
(D) \{(6,3,3,4)\}
(E) \{(-3,-3,4,4),(6,3,3,4)\}
(F) \{(-3,-3,4,4),(4,4,2,-4)\}
(G) \{(-3,-3,4,4)\}
(H) \{(4,4,2,-4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^{4} gerado por três vetores e pergunta qual dos conjuntos listados é base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H). Informações relevantes fornecidas:
H=\operatorname{span}\{(1,0,-2,0),\;(-1,2,0,0),\;(0,-8,8,0)\}.
As opções a verificar são, entre outras,
\{(8,4,4,1),(6,3,3,4)\}, \{(8,4,4,1),(4,4,2,-4)\}, \{(8,4,4,1)\}, etc.
A tarefa é achar H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^4 \mid x\cdot v=0\\ \forall v\in H\} e identificar qual conjunto dado é uma base de H^{\perp}.

Passo 2

Definição e montagem das equações: um vetor genérico de \mathbb{R}^{4} eu escrevo como
x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
Para que x\in H^{\perp} precisamos ter x\cdot v_i=0 para cada gerador v_i de H. Vou escrever as três equações de ortogonalidade (produto interno canônico, somatório de componentes multiplicadas):
v_1=(1,0,-2,0),\quad v_2=(-1,2,0,0),\quad v_3=(0,-8,8,0).
As equações são
x\cdot v_1 = x_{1}-2x_{3}=0,
x\cdot v_2 = -x_{1}+2x_{2}=0,
x\cdot v_3 = -8x_{2}+8x_{3}=0.

Passo 3

Resolver o sistema obtido: escrevo as três equações novamente e resolvo passo a passo.
(1)\; x_{1}-2x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2x_{3}.
(2)\; -x_{1}+2x_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}=x_{1}.
(3)\; -8x_{2}+8x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=x_{3}.
Agora uso (3) em (2): como x_{2}=x_{3}, (2) dá 2x_{3}=x_{1}. Isso coincide com (1) (que disse x_{1}=2x_{3}), então as três equações são consistentes entre si. Observação: x_{4} não aparece em nenhuma equação, portanto é livre.
Escolho t para parametrizar x_{3} e u para parametrizar x_{4}:
x_{3}=t,\qquad x_{2}=t,\qquad x_{1}=2t,\qquad x_{4}=u.

Passo 4

Escrevo a solução geral e extraio uma base para H^{\perp}. A forma geral de x\in H^{\perp} é
x=t(2,1,1,0)+u(0,0,0,1),\qquad t,u\in\mathbb{R}.
Logo
H^{\perp}=\operatorname{span}\{(2,1,1,0),(0,0,0,1)\}.
Como há dois parâmetros livres, \dim H^{\perp}=2, e os vetores acima são linearmente independentes (o segundo tem componente 4 diferente de zero enquanto o primeiro tem a quarta componente zero), portanto formam uma base natural de H^{\perp}.
Pequena intuição: todo vetor em H tem a quarta componente zero (veja os geradores), então qualquer vetor ortogonal a H pode ter componente na direção e_4=(0,0,0,1) livre — por isso esse vetor aparece na base de H^{\perp}.

Passo 5

Verificação da opção \{(8,4,4,1),(6,3,3,4)\}:
  • Mostro que cada vetor pertence a H^{\perp}. Usando a representação em termos da base encontrada,
(8,4,4,1)=4(2,1,1,0)+1(0,0,0,1),
(6,3,3,4)=3(2,1,1,0)+4(0,0,0,1).
Portanto ambos estão em H^{\perp}.
  • Mostro que são linearmente independentes: escrevo suas coordenadas na base \{(2,1,1,0),(0,0,0,1)\} como (4,1) e (3,4). O determinante da matriz formada por essas coordenadas é
\det\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}=4\cdot4-1\cdot3=16-3=13\neq 0,
logo são linearmente independentes. Como estão em H^{\perp} e são dois vetores independentes, formam uma base de H^{\perp}.
Checagem rápida de outras opções (resumo):
  • Qualquer conjunto com apenas um vetor não pode ser base porque \dim H^{\perp}=2.
  • O vetor (4,4,2,-4), por exemplo, não satisfaz as relações x_{1}=2x_{3} e 2x_{2}=x_{1} simultaneamente (verificando: x_{1}=4, x_{2}=4, x_{3}=2 2x_{2}=8\neq x_{1}=4), logo não está em H^{\perp}; isso elimina várias alternativas que o contêm.]

Resposta

(A) \{(8,4,4,1),(6,3,3,4)\}

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