O enunciado dá os vetores de uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, a matriz A e as imagens dos vetores da base por A:
A\vec{v}_{1}=4\vec{v}_{1}.
A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
Também foi definida a matriz M cujas colunas são os vetores da base:
O que o enunciado pede implicitamente é comparar expressões do tipo A M ou M A com produtos do tipo M C ou D M, onde as matrizes à direita são matrizes numéricas dadas nas alternativas, e identificar qual alternativa é verdadeira.
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar): quando as colunas de M são os vetores de uma base \beta, multiplicar A por M dá a matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Em símbolos:
A M=\left[\;A\vec{v}_{1}\;A\vec{v}_{2}\;A\vec{v}_{3}\;\right].
Cada coluna A\vec{v}_{j} pode ser escrita como combinação linear dos vetores da base \beta. Se expressarmos cada A\vec{v}_{j} pelas coordenadas em \beta, essas coordenadas formam a coluna j de uma matriz C (a matriz de A na base \beta). Assim obtemos a relação padrão de mudança de base:
A M = M C,
onde C é a matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta.
Observação intuitiva: M transforma coordenadas em vetores reais; C atua em coordenadas. Então aplicar A depois de reconstruir o vetor ( M ) equivale a reconstruir após aplicar a matriz de A nas coordenadas ( C ).
Passo 3
Agora vamos escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} (isto é, encontrar as coordenadas em \beta).
Para \;A\vec{v}_{1}=4\vec{v}_{1}\;: isso já está na base \beta. As coordenadas são