Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=4 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
A) M A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -4 & -3\end{array}\right] M
B) A M=M\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -4 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right]
C) M A=\left[\begin{array}{rrr}4 & -4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
D) A M=M\left[\begin{array}{rrr}4 & -4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
E) M A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 1 \\\\ 0 & -4 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
F) M A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -4 \\\\ 1 & 0 & -3\end{array}\right] M
G) A M=M\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -4 & -3\end{array}\right]
H) A M=M\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 1 \\\\ 0 & -4 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá os vetores de uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, a matriz A e as imagens dos vetores da base por A:
  • A\vec{v}_{1}=4\vec{v}_{1}.
  • A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
  • A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}.
Também foi definida a matriz M cujas colunas são os vetores da base:
M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right].
O que o enunciado pede implicitamente é comparar expressões do tipo A M ou M A com produtos do tipo M C ou D M, onde as matrizes à direita são matrizes numéricas dadas nas alternativas, e identificar qual alternativa é verdadeira.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): quando as colunas de M são os vetores de uma base \beta, multiplicar A por M dá a matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Em símbolos:
A M=\left[\;A\vec{v}_{1}\;A\vec{v}_{2}\;A\vec{v}_{3}\;\right].
Cada coluna A\vec{v}_{j} pode ser escrita como combinação linear dos vetores da base \beta. Se expressarmos cada A\vec{v}_{j} pelas coordenadas em \beta, essas coordenadas formam a coluna j de uma matriz C (a matriz de A na base \beta). Assim obtemos a relação padrão de mudança de base:
A M = M C,
onde C é a matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta.
Observação intuitiva: M transforma coordenadas em vetores reais; C atua em coordenadas. Então aplicar A depois de reconstruir o vetor ( M ) equivale a reconstruir após aplicar a matriz de A nas coordenadas ( C ).

Passo 3

Agora vamos escrever cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} (isto é, encontrar as coordenadas em \beta).
  • Para \;A\vec{v}_{1}=4\vec{v}_{1}\;: isso já está na base \beta. As coordenadas são
[A\vec{v}_{1}]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois A\vec{v}_{1}=4\cdot\vec{v}_{1}+0\cdot\vec{v}_{2}+0\cdot\vec{v}_{3}.
  • Para \;A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}\;: isso é 1\cdot\vec{v}_{1}+0\cdot\vec{v}_{2}+(-4)\cdot\vec{v}_{3}. Logo
[A\vec{v}_{2}]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
  • Para \;A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}\;: isso é 1\cdot\vec{v}_{1}+0\cdot\vec{v}_{2}+(-3)\cdot\vec{v}_{3}. Logo
[A\vec{v}_{3}]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montando a matriz C cujas colunas são as coordenadas encontradas, obtemos
C=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -3 \end{array}\right].
Pelo raciocínio do Passo 2, vale a relação matricial
A M = M C.]

Passo 5

Compare com as alternativas dadas. A alternativa que afirma exatamente
A M = M\left[\begin{array}{rrr} 4 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -3 \end{array}\right]
é a alternativa G. Portanto a alternativa correta é G.]

Resposta

G

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