Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,-2,1,0),(2,0,-1,0),(8,-6,-1,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,3,4,3)\}
(B) \{(1,1,2,-4),(3,3,6,-2)\}
(C) \{(3,3,6,-2)\}
(D) \{(1,1,2,-4),(4,-3,4,-4)\}
(E) \{(1,1,2,-4)\}
(F) \{(4,3,4,3),(3,3,6,-2)\}
(G) \{(4,-3,4,-4)\}
(H) \{(4,3,4,3),(4,-3,4,-4)\}

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço H \subset \mathbb{R}^4 gerado pelos três vetores
v_1=(0,-2,1,0),\qquad v_2=(2,0,-1,0),\qquad v_3=(8,-6,-1,0).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações relevantes fornecidas:
  • H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
  • As alternativas (A) a (H) mostram conjuntos candidatos (alguns com 1 vetor, outros com 2).
  • Precisa-se verificar qual conjunto gera exatamente H^{\perp} e é formado por vetores linearmente independentes (quando necessário).

Passo 2

O que significa H^{\perp}?
Definição: \displaystyle H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^4 \mid v\cdot x=0\\ \text{para todo}\\ v\in H\}.
Aqui o produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^4 é
(a_1,a_2,a_3,a_4)\cdot (x_1,x_2,x_3,x_4)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4.
Para encontrar H^{\perp} basta exigir que um vetor genérico x=(x_1,x_2,x_3,x_4) seja ortogonal a cada vetor gerador v_1,v_2,v_3, ou seja resolver o sistema linear formado por v_i\cdot x=0 para i=1,2,3.

Passo 3

Escrevendo as equações v_i\cdot x=0:
Para v_1=(0,-2,1,0):
0\cdot x_1 -2 x_2 +1\cdot x_3 +0\cdot x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2x_2+x_3=0.
Para v_2=(2,0,-1,0):
2x_1+0\cdot x_2 -1\cdot x_3 +0\cdot x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_1 - x_3=0.
Para v_3=(8,-6,-1,0):
8x_1 -6x_2 -1x_3 +0\cdot x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 8x_1 -6x_2 - x_3=0.
Portanto o sistema é
\begin{cases} -2x_2+x_3=0,\\[4pt] 2x_1-x_3=0,\\[4pt] 8x_1-6x_2-x_3=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação:
2x_1-x_3=0 \quad\Longrightarrow\quad x_3=2x_1.
Da primeira equação:
-2x_2+x_3=0 \quad\Longrightarrow\quad x_3=2x_2.
Comparando as duas expressões para x_3 obtemos
2x_1=2x_2 \quad\Longrightarrow\quad x_1=x_2.
Verificação da terceira equação: substituindo x_3=2x_1 e x_2=x_1 temos
8x_1-6x_1 - 2x_1 = 0,
ou seja 0=0. Portanto a terceira equação é redundante (dependente das duas primeiras). Isso indica que o sistema tem exatamente duas equações independentes.
Logo os graus de liberdade são: escolha t=x_1=x_2 e s=x_4 livre. Então
x_3=2t,\qquad x_4=s,
e o vetor geral em H^{\perp} é
x=(t,t,2t,s)=t\,(1,1,2,0)+s\,(0,0,0,1).
Portanto
H^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,1,2,0),(0,0,0,1)\}.
Isto mostra que \dim(H^{\perp})=2.

Passo 5

Interpretação prática para checar vetores candidatos:
  • Um vetor (a,b,c,d) está em H^{\perp} se e somente se a=b e c=2a. O quarto componente d pode ser qualquer número.
  • Como \dim(H^{\perp})=2, qualquer base válida deve ter exatamente 2 vetores linearmente independentes que satisfaçam as duas condições acima.

Passo 6

Analisar cada alternativa rapidamente usando a condição x_1=x_2 e x_3=2x_1 e verificar independência quando houver dois vetores.
(A) \{(4,3,4,3)\}. Aqui x_1=4 e x_2=3, não satisfaz x_1=x_2. Logo não pertence a H^{\perp}. Rejeitar.
(B) \{(1,1,2,-4),(3,3,6,-2)\}.
  • Para (1,1,2,-4): 1=1 e 2=2\cdot1 → pertence a H^{\perp}.
  • Para (3,3,6,-2): 3=3 e 6=2\cdot3 → também pertence a H^{\perp}.
    São dois vetores distintos e não múltiplos escalares entre si (por exemplo a razão das primeiras coordenadas é 3 mas a razão das quartas coordenadas é (-2)/(-4)=1/2), portanto são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em um espaço de dimensão 2, formam uma base de H^{\perp}. Alternativa (B) é candidata correta.
(C) \{(3,3,6,-2)\}. Só um vetor — não tem dimensão suficiente (precisamos de 2 vetores). Rejeitar.
(D) \{(1,1,2,-4),(4,-3,4,-4)\}.
O segundo vetor tem x_1=4 e x_2=-3, não satisfaz x_1=x_2, logo não pertence a H^{\perp}. Rejeitar.
(E) \{(1,1,2,-4)\}. Só um vetor — insuficiente. Rejeitar.
(F) \{(4,3,4,3),(3,3,6,-2)\}.
O primeiro vetor não pertence (ver A). Rejeitar.
(G) \{(4,-3,4,-4)\}. Não satisfaz x_1=x_2. Rejeitar.
(H) \{(4,3,4,3),(4,-3,4,-4)\}. Nenhum dos dois pertence (ver A e G). Rejeitar.

Resposta

(B)

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