Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -1 16.5
-2 2 19.9
-1 4 24.0
0 2 11.8
1 -1 -0.8
2 1 15.4
3 3 35.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) 119.8
(E) 120.8
(F) 121.8
(G) 3
(H) 123.8
(A) 116.8
(B) 117.8
(C) 118.8
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 122.8

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Ajustar os parâmetros \,a,b,c\, do modelo \;Z = a x^{2} + b y + c\; aos 7 pontos da tabela, no sentido dos mínimos quadrados (ou seja, encontrar os valores de a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos).
  2. Usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(6,9) e escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.
Informações relevantes (peguei todos os pares (x,y,Z) da tabela do enunciado):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & -1 & 16{,}5\\\\ -2 & 2 & 19{,}9\\\\ -1 & 4 & 24{,}0\\\\ 0 & 2 & 11{,}8\\\\ 1 & -1 & -0{,}8\\\\ 2 & 1 & 15{,}4\\\\ 3 & 3 & 35{,}5 \end{array}
Dados que usarei explicitamente: para cada ponto calcularei x^{2} e montarei o sistema normal para mínimos quadrados.

Passo 2

Conceito e montagem do problema (aula rápida e prática):
  • Queremos estimar o vetor de parâmetros \theta = \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}.
  • Para cada observação i com (x_i,y_i,Z_i) o modelo é linear em \theta:
Z_i = a x_i^{2} + b y_i + c.
  • Escrevemos em forma matricial \;X\theta = Z\;, onde a matriz de desenho X tem linhas [x_i^{2}\;\; y_i\;\; 1] e Z é o vetor-coluna das observações.
  • O método dos mínimos quadrados dá a equação normal
X^{T}X\,\theta = X^{T}Z.
Isso é um sistema linear 3\times 3 que resolve para \theta. Vou mostrar passo a passo como formar X^{T}X e X^{T}Z a partir dos dados e como resolver essas equações.]

Passo 3

Construção dos somatórios (peguei os dados da tabela): para cada linha calculei u=x^{2}, v=y, e usei Z.
Tabela com u=x^{2}, v=y, Z:
\begin{array}{r|r|r} u=x^{2} & v=y & Z\\hline 9 & -1 & 16{,}5\\\\ 4 & 2 & 19{,}9\\\\ 1 & 4 & 24{,}0\\\\ 0 & 2 & 11{,}8\\\\ 1 & -1 & -0{,}8\\\\ 4 & 1 & 15{,}4\\\\ 9 & 3 & 35{,}5 \end{array}
Calculei os somatórios necessários (mostro cada soma):
\sum u = 9+4+1+0+1+4+9 = 28,
\sum v = -1+2+4+2-1+1+3 = 10,
n = 7,
\sum u^{2} = \sum x^{4} = 81+16+1+0+1+16+81 = 196,
\sum v^{2} = (-1)^{2}+2^{2}+4^{2}+2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+3^{2}=36,
\sum u v = 9(-1)+4(2)+1(4)+0(2)+1(-1)+4(1)+9(3)=33,
\sum uZ = 9\cdot16{,}5 + 4\cdot19{,}9 + 1\cdot24{,}0 + 0\cdot11{,}8 + 1\cdot(-0{,}8) + 4\cdot15{,}4 + 9\cdot35{,}5 = 632{,}4,
\sum vZ = (-1)\cdot16{,}5 + 2\cdot19{,}9 + 4\cdot24{,}0 + 2\cdot11{,}8 + (-1)\cdot(-0{,}8) + 1\cdot15{,}4 + 3\cdot35{,}5 = 265{,}6,
\sum Z = 16{,}5+19{,}9+24{,}0+11{,}8-0{,}8+15{,}4+35{,}5 = 122{,}3.
Com isso a matriz X^{T}X e o vetor X^{T}Z ficam:
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum u^{2} & \sum uv & \sum u\\[4pt] \sum uv & \sum v^{2} & \sum v\\[4pt] \sum u & \sum v & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 33 & 28\\[4pt] 33 & 36 & 10\\[4pt] 28 & 10 & 7 \end{pmatrix},
X^{T}Z = \begin{pmatrix}\sum uZ\\[4pt]\sum vZ\\[4pt]\sum Z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}632{,}4\\[4pt]265{,}6\\[4pt]122{,}3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver as equações normais. Escrevo o sistema
\begin{pmatrix} 196 & 33 & 28\\[4pt] 33 & 36 & 10\\[4pt] 28 & 10 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}632{,}4\\[4pt]265{,}6\\[4pt]122{,}3\end{pmatrix}.
Para evitar erros de arredondamento usei Cramer com os numeradores multiplicando o vetor de termos independentes por 10 (ou seja, trabalhei com [6324,2656,1223] para determinantes inteiros) e depois recuperei os valores reais. Primeiro calculei o determinante da matriz X^{T}X:
\det(X^{T}X) = 12425.
Agora os determinantes (substituindo colunas pela coluna RHS multiplicada por 10) deram:
\text{Determinante com 1ª coluna substituída (escalado por 10)} = 262{,}198,ªí
\text{Determinante com 2ª coluna substituída (escalado por 10)} = 604{,}576,ªí
\text{Determinante com 3ª coluna substituída (escalado por 10)} = 258{,}353.ªí
Como trabalhei com RHS multiplicado por 10, a relação entre esses determinantes escalados e os parâmetros é
a = \frac{262{,}198}{10\cdot 12{,}425},\qquad b = \frac{604{,}576}{10\cdot 12{,}425},\qquad c = \frac{258{,}353}{10\cdot 12{,}425}.]

Passo 5

Valores numéricos dos parâmetros (aproximações decimais suficientes para prever Z):
a \approx \frac{262{,}198}{124{,}250} \approx 2{,}11024547,
b \approx \frac{604{,}576}{124{,}250} \approx 4{,}86580281,
c \approx \frac{258{,}353}{124{,}250} \approx 2{,}079291\ldots
(Expliquei as contas e os determinantes; se na prova preferir, dá para resolver o sistema 3\times3 por eliminação gaussiana — é equivalente.)

Passo 6

Previsão para (x,y)=(6,9):
  • Primeiro calcule x^{2}=6^{2}=36.
  • A previsão é
Z_{\text{pred}} = a\cdot 36 + b\cdot 9 + c.
Substituindo os valores aproximados:
Z_{\text{pred}} \approx 2{,}11024547\cdot 36 \;+\; 4{,}86580281\cdot 9 \;+\; 2{,}079291.
Cálculo passo a passo:
2{,}11024547\cdot 36 \approx 75{,}9688369,
4{,}86580281\cdot 9 \approx 43{,}7922253,
\text{soma: }75{,}9688369 + 43{,}7922253 + 2{,}079291 \approx 121{,}8403532.
Arredondando à precisão das alternativas, obtemos Z_{\text{pred}}\approx 121{,}84, ou seja, a alternativa mais próxima é \,121{,}8.

Resposta

(F) 121{,}8

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