Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-1
16.5
-2
2
19.9
-1
4
24.0
0
2
11.8
1
-1
-0.8
2
1
15.4
3
3
35.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) 119.8
(E) 120.8
(F) 121.8
(G) 3
(H) 123.8
(A) 116.8
(B) 117.8
(C) 118.8
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 122.8
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Ajustar os parâmetros \,a,b,c\, do modelo \;Z = a x^{2} + b y + c\; aos 7 pontos da tabela, no sentido dos mínimos quadrados (ou seja, encontrar os valores de a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos).
Usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(6,9) e escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.
Informações relevantes (peguei todos os pares (x,y,Z) da tabela do enunciado):
Dados que usarei explicitamente: para cada ponto calcularei x^{2} e montarei o sistema normal para mínimos quadrados.
Passo 2
Conceito e montagem do problema (aula rápida e prática):
Queremos estimar o vetor de parâmetros \theta = \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}.
Para cada observação i com (x_i,y_i,Z_i) o modelo é linear em \theta:
Z_i = a x_i^{2} + b y_i + c.
Escrevemos em forma matricial \;X\theta = Z\;, onde a matriz de desenho X tem linhas [x_i^{2}\;\; y_i\;\; 1] e Z é o vetor-coluna das observações.
O método dos mínimos quadrados dá a equação normal
X^{T}X\,\theta = X^{T}Z.
Isso é um sistema linear 3\times 3 que resolve para \theta. Vou mostrar passo a passo como formar X^{T}X e X^{T}Z a partir dos dados e como resolver essas equações.]
Passo 3
Construção dos somatórios (peguei os dados da tabela): para cada linha calculei u=x^{2}, v=y, e usei Z.
Para evitar erros de arredondamento usei Cramer com os numeradores multiplicando o vetor de termos independentes por 10 (ou seja, trabalhei com [6324,2656,1223] para determinantes inteiros) e depois recuperei os valores reais. Primeiro calculei o determinante da matriz X^{T}X:
\det(X^{T}X) = 12425.
Agora os determinantes (substituindo colunas pela coluna RHS multiplicada por 10) deram:
\text{Determinante com 1ª coluna substituída (escalado por 10)} = 262{,}198,ªí
\text{Determinante com 2ª coluna substituída (escalado por 10)} = 604{,}576,ªí
\text{Determinante com 3ª coluna substituída (escalado por 10)} = 258{,}353.ªí
Como trabalhei com RHS multiplicado por 10, a relação entre esses determinantes escalados e os parâmetros é
a = \frac{262{,}198}{10\cdot 12{,}425},\qquad b = \frac{604{,}576}{10\cdot 12{,}425},\qquad c = \frac{258{,}353}{10\cdot 12{,}425}.]
Passo 5
Valores numéricos dos parâmetros (aproximações decimais suficientes para prever Z):
a \approx \frac{262{,}198}{124{,}250} \approx 2{,}11024547,
b \approx \frac{604{,}576}{124{,}250} \approx 4{,}86580281,
c \approx \frac{258{,}353}{124{,}250} \approx 2{,}079291\ldots
(Expliquei as contas e os determinantes; se na prova preferir, dá para resolver o sistema 3\times3 por eliminação gaussiana — é equivalente.)