Q11: Seja H=\operatorname{span}\{(4,0,0),(0,-6,-3)\} \subset \mathbb{R}^{3}. Defina \vec{u}=(-2,2,-3), \vec{v}=(-2,2,1) e \vec{w}=(2,2,1). Qual destes conjuntos é base de H ?
(A) \{\vec{u}, \vec{w}\}
(B) \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}
(C) \{\vec{u}, \vec{v}\}
(D) \{\vec{v}, \vec{w}\}
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado define o subespaço
H = \operatorname{span}\{(4,0,0),\,(0,-6,-3)\}\subset\mathbb{R}^3
e nos dá os vetores
\vec u=(-2,2,-3), \vec v=(-2,2,1), \vec w=(2,2,1).
Pergunta-se qual dos conjuntos dados é base de H.
Conteúdo: subespaço gerado, teste de pertencimento ao span, independência linear e definição de base.

Passo 2

Vamos caracterizar os vetores de H. Um vetor genérico de H é
t\,(4,0,0) \;+\; s\,(0,-6,-3) = (4t,\,-6s,\,-3s).
Logo, um (x,y,z) pertence a H se, e somente se, existem t,s tais que
x = 4t,\quad y = -6s,\quad z = -3s.
Eliminando s entre y e z vem
s = -\frac{z}{3} \quad\Longrightarrow\quad y = -6\!\Bigl(-\frac{z}{3}\Bigr) = 2z.
Portanto
H = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : y = 2z\}.

Passo 3

Testamos \vec u=(-2,2,-3). Se pertencesse a H, precisaríamos ter
2 \overset{?}{=} 2\cdot(-3) = -6,
o que não ocorre. Logo \vec u\notin H.

Passo 4

Testamos \vec v=(-2,2,1). Nesse caso
2 \stackrel{?}{=} 2\cdot1 = 2,
funciona, então \vec v\in H.
Testamos \vec w=(2,2,1). Aqui também
2 = 2\cdot1 = 2,
logo \vec w\in H.

Passo 5

Como base de H precisamos de dois vetores que estejam em H e sejam independentes. Dos pares possíveis:
(A) \{\vec u,\vec w\} e (C) \{\vec u,\vec v\} contêm \vec u\notin H, logo excluídos.
Restam (D) \{\vec v,\vec w\}.

Passo 6

Verificamos a independência de \vec v e \vec w. Não existe escalar \lambda tal que \vec v = \lambda\vec w, pois
(-2,2,1)\neq\lambda\,(2,2,1)
para qualquer \lambda. Portanto são independentes e, como estão em H, formam uma base de H.

Resposta

(D) \{\vec v,\vec w\}

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