Q11: Seja
. Defina
e
. Qual destes conjuntos é base de H ?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e nos dá os vetores
,
,
.
Pergunta-se qual dos conjuntos dados é base de .
Conteúdo: subespaço gerado, teste de pertencimento ao span, independência linear e definição de base.
Pergunta-se qual dos conjuntos dados é base de
Conteúdo: subespaço gerado, teste de pertencimento ao span, independência linear e definição de base.
Passo 2
Vamos caracterizar os vetores de
. Um vetor genérico de
é
Logo, um
pertence a
se, e somente se, existem
tais que
Eliminando
entre
e
vem
Portanto
Passo 3
Testamos
. Se pertencesse a
, precisaríamos ter
o que não ocorre. Logo
.
Passo 4
Testamos
. Nesse caso
funciona, então
.
Testamos . Aqui também
Testamos
logo
.
Passo 5
Como base de
precisamos de dois vetores que estejam em
e sejam independentes. Dos pares possíveis:
(A) e (C)
contêm
, logo excluídos.
Restam (D) .
(A)
Restam (D)
Passo 6
Verificamos a independência de
e
. Não existe escalar
tal que
, pois
para qualquer
. Portanto são independentes e, como estão em
, formam uma base de
.
Resposta
(D)