Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
com
inversível, então
e
podem ter polinômios característicos distintos.
II - Seja
uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nılo
cıja direção é preservada pela ação de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Näo sei
I - Se
II - Seja
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Näo sei
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre matrizes quadradas e pede para julgá-las verdadeiras ou falsas. Conteúdo usado: invariância do polinômio característico por semelhança e Teorema Fundamental da Álgebra aplicado a polinômios de grau ímpar sobre
.
Passo 2
Analisando I – “Se
com
inversível, então
e
podem ter polinômios característicos distintos.” Por definição de semelhança, matrizes semelhantes têm exatamente o mesmo polinômio característico. Logo, não podem ser distintos. Portanto I é falsa.
Passo 3
Analisando II – “Seja
real. Existe necessariamente um vetor não-nulo
cuja direção é preservada por
.” O polinômio característico de
tem grau
e coeficientes reais, logo tem pelo menos uma raiz real (grau ímpar). Esse valor real é um autovalor
e fornece um autovetor real não-nulo
tal que
, ou seja, a direção de
é preservada. Portanto II é verdadeira.
Passo 4
Somando os resultados: I é falsa e II é verdadeira. A alternativa que corresponde a “Apenas II é verdadeira” é a letra (C).
Resposta
(C) Apenas II é verdadeira.