Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A=P B P^{-1} com P inversível, então A e B podem ter polinômios característicos distintos.
II - Seja A_{3 \times 3} uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nılo \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} cıja direção é preservada pela ação de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Näo sei

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre matrizes quadradas e pede para julgá-las verdadeiras ou falsas. Conteúdo usado: invariância do polinômio característico por semelhança e Teorema Fundamental da Álgebra aplicado a polinômios de grau ímpar sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Analisando I – “Se A = PBP^{-1} com P inversível, então A e B podem ter polinômios característicos distintos.” Por definição de semelhança, matrizes semelhantes têm exatamente o mesmo polinômio característico. Logo, não podem ser distintos. Portanto I é falsa.

Passo 3

Analisando II – “Seja A_{3\times3} real. Existe necessariamente um vetor não-nulo \vec v\in\mathbb{R}^3 cuja direção é preservada por A.” O polinômio característico de A tem grau 3 e coeficientes reais, logo tem pelo menos uma raiz real (grau ímpar). Esse valor real é um autovalor \lambda\in\mathbb{R} e fornece um autovetor real não-nulo \vec v tal que A\vec v = \lambda \vec v, ou seja, a direção de \vec v é preservada. Portanto II é verdadeira.

Passo 4

Somando os resultados: I é falsa e II é verdadeira. A alternativa que corresponde a “Apenas II é verdadeira” é a letra (C).

Resposta

(C) Apenas II é verdadeira.

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