Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 90 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosus se sucedem com a probabilidade de 60 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 78.0 \%
(B) 79.0 \%
(C) 80.0 \%
(D) 81.0 \%
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado descreve um processo de chuva ou sol em que cada dia depende apenas do dia anterior, ou seja, é uma cadeia de Markov de duas estados: “S” (sol) e “C” (chuva). As probabilidades de transição são:
P_{S\to S}=0,9,\quad P_{S\to C}=0,1,\quad P_{C\to C}=0,6,\quad P_{C\to S}=0,4.
Queremos a probabilidade de o dia ser ensolarado após 20 anos, isto é, após n=20\cdot365=7300 passos da cadeia.

Passo 2

Vamos achar a distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_C), que satisfaz \pi=\pi P e \pi_S+\pi_C=1. Do primeiro componente de \pi=\pi P vem
\pi_S = \pi_S\cdot0,9+\pi_C\cdot0,4.
Como \pi_C=1-\pi_S, substituímos:
\pi_S = 0,9\,\pi_S + 0,4\,(1-\pi_S) \;\Longrightarrow\; \pi_S = 0,9\,\pi_S + 0,4 - 0,4\,\pi_S \;\Longrightarrow\; \pi_S - 0,5\,\pi_S = 0,4 \;\Longrightarrow\; 0,5\,\pi_S = 0,4 \;\Longrightarrow\; \pi_S = 0,8.
Logo \pi_C=0,2.

Passo 3

A cadeia tem autovalores 1 e 0,5. Assim, a distribuição após n dias se aproxima de \pi com erro da ordem de (0,5)^n. Para n=7300, (0,5)^{7300} é praticamente zero, então a distribuição está praticamente estacionária.

Passo 4

Portanto, a probabilidade de o dia ser ensolarado no primeiro de janeiro daqui a 20 anos é aproximadamente
\pi_S = 0,8 = 80{,}0\%.

Resposta

(C) 80{,}0\%

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