Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosus se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado descreve um processo de chuva ou sol em que cada dia depende apenas do dia anterior, ou seja, é uma cadeia de Markov de duas estados: “S” (sol) e “C” (chuva). As probabilidades de transição são:
Queremos a probabilidade de o dia ser ensolarado após
anos, isto é, após
passos da cadeia.
Passo 2
Vamos achar a distribuição estacionária
, que satisfaz
e
. Do primeiro componente de
vem
Como
, substituímos:
Logo
.
Passo 3
A cadeia tem autovalores
e
. Assim, a distribuição após
dias se aproxima de
com erro da ordem de
. Para
,
é praticamente zero, então a distribuição está praticamente estacionária.
Passo 4
Portanto, a probabilidade de o dia ser ensolarado no primeiro de janeiro daqui a 20 anos é aproximadamente
Resposta
(C)