Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
I) Se S é LD, então A é LD ou B é LD ou C é LD.
II) Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
III) Se S é gerador do \mathbb{R}^{3}, então A é LI.

Passo 1

O enunciado trata de três vetores \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} distintos em \mathbb{R}^3 e de três pares A=\{\vec v_1,\vec v_2\}, B=\{\vec v_1,\vec v_3\}, C=\{\vec v_2,\vec v_3\}. As afirmativas envolvem conceitos de independência linear (LI), dependência linear (LD), geradores (span) e base de \mathbb{R}^3. Vamos examinar cada uma:

Passo 2

Analisando (I): “Se S é LD, então A é LD ou B é LD ou C é LD.”
Contraexemplo: tome \vec v_{1}=(1,0,0), \vec v_{2}=(0,1,0), \vec v_{3}=(1,1,0).
Então \vec v_{3}=\vec v_{1}+\vec v_{2}, ou seja, S é LD. Mas cada par é LI, pois nenhum par é colinear. Logo nenhuma das coleções A,B,C é LD. Isso mostra que (I) é falsa.

Passo 3

Analisando (II): “Se \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} não são colineares, então S é base de \mathbb{R}^3.”
Não colineares significa que não estão todos numa mesma reta, mas eles ainda podem estar num mesmo plano e ser LD. Por exemplo, \vec v_{1}=(1,0,0), \vec v_{2}=(0,1,0), \vec v_{3}=(1,1,0) não são colineares, porém estão no plano z=0, não geram todo \mathbb{R}^3. Assim S não é base. Logo (II) é falsa.

Passo 4

Analisando (III): “Se S é gerador de \mathbb{R}^3, então A é LI.”
Como \dim\mathbb{R}^3=3, um conjunto de três vetores que gera \mathbb{R}^3 é necessariamente LI, isto é, forma uma base. E todo subconjunto de um conjunto LI também é LI. Em particular A é LI. Portanto (III) é verdadeira.

Resposta

Apenas III é verdadeira. Isto corresponde à alternativa (F).

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