Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
I) Se
é LD, então
é LD ou
é LD ou
é LD.
II) Se
não são colineares, então
é uma base de
.
III) Se
é gerador do
, então
é LI.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
I) Se
II) Se
III) Se
Passo 1
O enunciado trata de três vetores
distintos em
e de três pares
,
,
. As afirmativas envolvem conceitos de independência linear (LI), dependência linear (LD), geradores (span) e base de
. Vamos examinar cada uma:
Passo 2
Analisando (I): “Se
é LD, então
é LD ou
é LD ou
é LD.”
Contraexemplo: tome ,
,
.
Então , ou seja,
é LD. Mas cada par é LI, pois nenhum par é colinear. Logo nenhuma das coleções
é LD. Isso mostra que (I) é falsa.
Contraexemplo: tome
Então
Passo 3
Analisando (II): “Se
não são colineares, então
é base de
.”
Não colineares significa que não estão todos numa mesma reta, mas eles ainda podem estar num mesmo plano e ser LD. Por exemplo, ,
,
não são colineares, porém estão no plano
, não geram todo
. Assim
não é base. Logo (II) é falsa.
Não colineares significa que não estão todos numa mesma reta, mas eles ainda podem estar num mesmo plano e ser LD. Por exemplo,
Passo 4
Analisando (III): “Se
é gerador de
, então
é LI.”
Como , um conjunto de três vetores que gera
é necessariamente LI, isto é, forma uma base. E todo subconjunto de um conjunto LI também é LI. Em particular
é LI. Portanto (III) é verdadeira.
Como
Resposta
Apenas III é verdadeira. Isto corresponde à alternativa (F).