Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) Nenhum subconjunto de
com 6 vetores é uma base de
.
II) Todo subconjunto LD de
possui no mínimo 5 vetores.
III) Todo subconjunto LI de
gera $V.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) Nenhum subconjunto de
II) Todo subconjunto LD de
III) Todo subconjunto LI de
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
e pede para avaliar as três afirmações:
I) nenhum subconjunto de com
vetores é base de
;
II) todo subconjunto linearmente dependente de tem pelo menos
vetores;
III) todo subconjunto linearmente independente de gera
.
Para decidir quais são verdadeiras, vamos usar as definições de dimensão, base, dependência e independência linear.
I) nenhum subconjunto de
II) todo subconjunto linearmente dependente de
III) todo subconjunto linearmente independente de
Para decidir quais são verdadeiras, vamos usar as definições de dimensão, base, dependência e independência linear.
Passo 2
Análise da afirmação I: uma base de
deve ter exatamente
vetores e ser linearmente independente. Qualquer conjunto com
vetores em
será necessariamente linearmente dependente (pois excede a dimensão), então não pode ser base. Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Análise da afirmação II: dizer que “todo conjunto linearmente dependente tem pelo menos
vetores” é falso, pois já basta ter
vetores proporcionais para formar um conjunto dependente (por exemplo,
é LD e tem apenas
vetores). Logo, II é falsa.
Passo 4
Análise da afirmação III: um conjunto LI (linearmente independente) só gera
se tiver exatamente
vetores. Mas existe conjunto LI com menos de
vetores (por exemplo,
vetores LI não geram todo o espaço). Logo, III é falsa.
Resposta
(H) Apenas I é verdadeira.