Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
II) Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 5 vetores.
III) Todo subconjunto LI de V gera $V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 5 e pede para avaliar as três afirmações:
I) nenhum subconjunto de V com 6 vetores é base de V;
II) todo subconjunto linearmente dependente de V tem pelo menos 5 vetores;
III) todo subconjunto linearmente independente de V gera V.
Para decidir quais são verdadeiras, vamos usar as definições de dimensão, base, dependência e independência linear.

Passo 2

Análise da afirmação I: uma base de V deve ter exatamente \dim(V)=5 vetores e ser linearmente independente. Qualquer conjunto com 6 vetores em V será necessariamente linearmente dependente (pois excede a dimensão), então não pode ser base. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Análise da afirmação II: dizer que “todo conjunto linearmente dependente tem pelo menos 5 vetores” é falso, pois já basta ter 2 vetores proporcionais para formar um conjunto dependente (por exemplo, \{v,2v\} é LD e tem apenas 2 vetores). Logo, II é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação III: um conjunto LI (linearmente independente) só gera V se tiver exatamente 5 vetores. Mas existe conjunto LI com menos de 5 vetores (por exemplo, 3 vetores LI não geram todo o espaço). Logo, III é falsa.

Resposta

(H) Apenas I é verdadeira.

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